Méthodologie en sciences calculatoires/Formulaires, calculatrices et brouillon

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L'arrivée des calculatrices graphiques permettant de rentrer les formules (« antisèches électroniques ») à la fin des années 1980 a pu donner l'illusion de facilité. Par ailleurs, pour éviter une ségrégation par l'argent, entre ceux qui peuvent s'offrir une telle calculatrice et les autres, les épreuves d'examens proposent en général des formulaires. On supprime donc la difficulté liée à la mémorisation des formules, mais pas celle liée à l'abord des problèmes.

Un savoir minimum nécessaire

Dans une pratique professionnelle, on a de la documentation à sa disposition : livres, Internet, il n'y a pas besoin de connaître une formule par cœur. Par ailleurs, une formule que l’on utilise souvent sera connue par cœur sans que l’on ait besoin de l'apprendre. Pourtant, le travailleur se doit de connaître un certain nombre de formules :

• les formules complexes sont souvent des mélanges ou des extensions des formules de base ;
• les formules de base permettent de comprendre les formules plus complexes que l’on va utiliser ;
• et surtout, il faut une certaine culture de base pour pouvoir rechercher et sélectionner la bonne formule.

Notation du triangle pour le théorème d'al-Kashi

Par exemple, peut-on comprendre le théorème d'al-Kashi

c² = a² + b² - 2ab cos γ,

et donc bien utiliser cette formule, si l’on ne connaît pas le théorème de Pythagore

c² = a² + b² ?

Et surtout, peut-on utiliser cette formule si l’on ne sait pas ce que représentent a, b, c et γ ?

Comprendre les formules

Le fait d’avoir une formule à disposition ne garantit pas que l’on sache l’utiliser. Il faut d’abord l'avoir comprise, et pour cela avoir suivi le cours et l'avoir appliquée en exercice.

Cela ne se limite pas à recopier la correction des exercices, ou la résolution qu'en a fait un camarade. C'est en se confrontant à la difficulté que l’on progresse. Il faut donc essayer de résoudre soi-même l'exercice. Il est normal de ne pas y arriver au début ; même si certains ont des facilités et sont plus à l'aise, le fait de « sécher » sur un problème fait partie de l'apprentissage. Sécher, c’est essayer des solutions les unes après les autres jusqu'à trouver la bonne ; il faut donc ne pas se décourager et persévérer, même si, et surtout si, la solution n'apparaît pas rapidement.

On ne comprendra le corrigé que si l’on a soi-même fait l'effort de chercher ; on découvre alors ce que l’on n'avait pas compris, ce qui nous manquait pour arriver à la solution, et ainsi on progresse.

Par ailleurs, les formules utilisent des lettres, et les lettres n'ont pas toujours la même signification. Par exemple :

• P = m⋅g : P désigne le poids ;
• P = F/S : P désigne la pression ;
• P = C⋅ω : P désigne la puissance.

Et comme on ne peut pas rentrer de lettres grecques, P = C⋅ω sera écrit P = Cw dans une calculatrice. On risque de chercher longtemps un double-v dans l'énoncé… Enfin, les notations varient d'un problème à l'autre, la lettre de la formule ne correspond peut-être à aucune lettre de l'énoncé, voire pire, correspond à quelque chose qui n'a rien à voir.

Il faut donc d’abord connaître les formules pour les reconnaître et pouvoir les appliquer.

Une confiance limitée en la calculatrice

À partir d'un certain niveau, en général le niveau 13, on ne fournit plus de formulaire, par contre la calculatrice graphique est de rigueur. Les étudiants s'empressent donc d'y rentrer les formules.

Il faut toutefois avoir une confiance limitée dans sa calculatrice :

• on n’est pas à l'abri d'un accident la veille ou le jour de l'examen : chute de la calculatrice depuis la table, chute en marchant provoquant l'écrasement de la calculatrice, chute dans l'eau, …
• le nombre de formules est important, se pose alors le problème du classement ; on passe plus de temps à chercher la formule qu’à l'appliquer, ce qui nuit fortement au résultat ;
• si l’on ne connaît pas déjà la formule, il faut alors entrer avec les unités, voire la signification des lettres, au risque d’utiliser une formule inadéquate ou de mal l’utiliser ; on a alors un écran surchargé et difficile à lire, lors d'une épreuve où l’on n'est déjà pas à l'aise.

La calculatrice est un support, elle doit permettre de contrôler une formule lorsque l’on a un doute, ou de suppléer à la mémoire défaillante (stress, confusion en raison de révisions intenses), mais elle ne saurait en aucun cas remplacer la mémoire.

Utiliser le brouillon

On voit trop souvent les élèves ou les étudiants se précipiter sur la calculatrice pour taper les calculs sans écrire une ligne, puis recopier les résultats directement sur la copie. Avec en général une rédaction peu claire — et des erreurs.

Il faut absolument écrire d’abord le calcul au brouillon. Cela permet d'ordonner les idées, et donc de ne pas se tromper lorsque l’on rentre les calculs.

Vérifier la cohérence des résultats

Mise à part en mathématiques, les résultats numériques correspondent à des grandeurs réelles. La première vérification consiste à regarder si la valeur trouvée est réaliste. Si le calcul indique qu'une voiture roule à 500 km/h ou 0,01 km/h, on s'avisera de revérifier le calcul…

Par ailleurs, et ce même en mathématiques, on peut faire un calcul simplifié, de tête ou à la main, pour voir si l’on trouve le bon ordre de grandeur. Par simplifié, on entend : remplacer les valeurs numériques par des valeurs à un seul chiffre significatif (c'est-à-dire que les autres chiffres de la valeur sont remplacés par des 0), ce chiffre significatif étant idéalement 1, 2, 3 ou 5 ; le nombre π est par exemple remplacé par 3.

Début de l'exemple

Exemple

On doit calculer une valeur P par

P = 7,8 × π × 0,1² × 0,1 × 9,81

on remplace ces valeurs par les valeurs simples les plus proches :

• 7,8 → 10 ;
• π → 3 ;
• 9,81 → 10.

Le calcul simplifié est donc

P ≃ 10 × 3 × 0,1² × 0,1 × 10 = 3 × 10 × 0,01 = 3 × 0,1 = 0,3

on sait donc que l’on doit trouver à peu près 0,3. De fait, le calcul nous donne 0,24.

Fin de l'exemple

À partir d'un certain niveau — niveau 12 ou 13 en études scientifiques générales, c'est-à-dire en France terminale S, université, DUT, classes préparatoires aux écoles d'ingénieurs —, on étudie les équations aux dimensions (ou analyse dimensionnelle). Cet outil permet de vérifier la cohérence d'une formule littérale. S'agissant d'une vérification sur brouillon, on peut se passer du formalisme des grandeurs — [L] pour une longueur, [M] pour une masse, … — et utiliser directement les unités. Il faut être capable de retrouver facilement les équivalences d'unités composées, en particulier :

• le newton : 1 N = 1 kg⋅m⋅s^-2 ; on peut la retrouver par la définition du newton — accélérer une masse de 1 kg avec une accélération de 1 m⋅s^-2 ;
• le joule : 1 J = 1 kg⋅m²⋅s^-2 ; on peut le retrouver avec la formule de l'énergie cinétique E_c = 1/2 × m × v², ou bien avec le travail d'une force W = F × l.

Début de l'exemple

Exemple

Le calcul du poids P d'un cylindre nous donne

P = ρ × π × r² × h × g

avec

• P : force en N ;
• ρ : masse volumique en kg⋅m^-3 ;
• π : constante, sans dimension ;
• r : rayon du cylindre en m ;
• h : hauteur du cylindre en m ;
• g : accélération de la gravité en m⋅s^-2.

On a :

P ~ N = kg⋅m⋅s^-2 ;

ρ × π × r² × h × g ~ kg⋅m^-3 × 1 × m² × m × m⋅s^-2 = kg × m^-3 × m⁴ × s^-2 = kg × m × s^-2 ;

la formule est donc homogène.

Si l’on voulait utiliser le formalisme de l'analyse dimensionnelle, il faudrait écrire

ρ × π × r² × h × g ~ [M] × [L]^-3 × [L]² × [L] × [L][T]^-2 = [M][L][T]^-2

mais cet effort de conversion alourdit inutilement le travail dans le cas d'une vérification au brouillon.

Fin de l'exemple

Toutes ces vérifications ne garantissent pas que le résultat est exact, elles garantissent que le résultat est cohérent et permettent donc de détecter d'éventuelles erreurs, mais pas toutes…