Leçons de niveau 14

Mécanique du point/Oscillateurs

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Oscillateurs
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Chapitre no 5
Leçon : Mécanique du point
Chap. préc. :Travail et Énergie
Chap. suiv. :Collisions
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Mécanique du point/Oscillateurs
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Oscillateur harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Exemples d'oscillateurs[modifier | modifier le wikicode]

Masse-ressort : mouvement horizontal[modifier | modifier le wikicode]

Mouvement horizontal

On considère un mobile auto porteur relié à un mur par un ressort de raideur k.

Bilan des forces :

  • Une force de rappel due au ressort et proportionnelle au déplacement du mobile
  • Le poids
  • La réaction du support

On applique le principe fondamental de la dynamique au mobile :

On projette sur l'axe (Ox) :

On définie la pulsation propre de l'oscillateur :

On obtient une équation différentielle du second degré :


Système Masse suspendue à un ressort[modifier | modifier le wikicode]

Bilan des forces :

  • Poids
  • Force de rappel du ressort :

Principe fondamental de la dynamique :

On projette sur l'axe à l'équilibre :

On introduit x l'écart par rapport à la position d'équilibre :

Équation caractéristique[modifier | modifier le wikicode]

Solution[modifier | modifier le wikicode]

On cherche si une solution de la forme peut convenir. Calculons ses dérivées par rapport au temps :

Introduisons ces expressions dans la partie gauche de l'équation caractéristique :

A est l'amplitude (en mètre) et la phase (en radian). Ces constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales (Exemple).

La période propre du mouvement est la durée entre 2 passages consécutifs dans le même sens pour une position donnée. Une telle durée correspond à une augmentation de de l'argument de la fonction sinusoïdale et donc à

Ainsi :



La période est indépendante de l'amplitude du mouvement. Un tel système est dit isochrone.

Aspect énergétique[modifier | modifier le wikicode]

La vitesse est :

L'énergie cinétique est :

L'énergie potentielle est :

L'énergie mécanique est :

L'énergie mécanique est constante au cours du temps et proportionnelle au carré de l'amplitude.

avec

Oscillations amorties par un frottement fluide[modifier | modifier le wikicode]

En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement F=-bv. On applique le principe fondamental de la dynamique :

avec et

Le discriminant est :

Les solutions sont :

Oscillations forcées[modifier | modifier le wikicode]

Oscillations harmoniques en deux dimensions[modifier | modifier le wikicode]

Diagrammes de phases[modifier | modifier le wikicode]