Mécanique du point/Dynamique

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Application : Étude de la trajectoire d'un projectile en chute libre

Le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique.

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point M₀(x₀, y₀, z₀) avec une vitesse initiale ${\vec {V}}_{0}$ faisant un angle α avec l'axe (Ox) ${\vec {V}}_{0}={\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \\0\\V_{0}\,sin\alpha \end{pmatrix}}$

On suppose ici qu’il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe ${\vec {y}}$, tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

Résolution de l'équation

La seule force à laquelle soit soumis le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air).

On applique le principe fondamental de la dynamique au projectile :

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}$

${\vec {a}}={\vec {g}}={\begin{pmatrix}0\\0\\-g\end{pmatrix}}$

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

${\vec {V}}(t)={\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\\-g\,t+C_{3}\end{pmatrix}}$ où C₁, C₂ et C₃ sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales.

En effet à t = 0 :

${\vec {V}}(t=0)={\vec {V}}_{0}$,

soit ${\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\\-g\times 0+C_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \\0\\V_{0}\,sin\alpha \end{pmatrix}}$ et donc ${\begin{cases}C_{1}=V_{0}\,cos\alpha \\C_{2}=0\\C_{3}=V_{0}\,sin\alpha \end{cases}}$

On a donc :

${\vec {V}}(t)={\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \\0\\-g\,t+V_{0}\,sin\alpha \end{pmatrix}}$

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

${\overrightarrow {OM}}(t)={\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \,t+C_{4}\\C_{5}\\-{1 \over 2}\,g\,t^{2}+V_{0}\,sin\alpha \,t+C_{6}\end{pmatrix}}$

C₄, C₅ et C₆ sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

À t = 0, ${\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}$

Donc ${\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \times 0+C_{4}\\C_{5}\\-{1 \over 2}\,g\times 0^{2}+V_{0}\,sin\alpha \times 0+C_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}.$
d'où ${\overrightarrow {OM}}(t)={\begin{pmatrix}V_{0}\,cos\alpha \,t+x_{0}\\y_{0}\\-{1 \over 2}\,g\,t^{2}+V_{0}\,sin\alpha \,t+z_{0}\end{pmatrix}}$

Équation de la trajectoire

On choisit l'origine de manière à avoir $x_{0}=0$. On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l’expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit $t={x \over V_{0}\,cos\alpha }$

On obtient donc : $z(x)=-{1 \over 2}\,g\,\left({x \over V_{0}\,\cos \alpha }\right)^{2}+V_{0}\,\sin \alpha \,{x \over V_{0}\,\cos \alpha }+z_{0}$

$z(x)=-{1 \over 2}\,{g \over V_{0}^{2}\,\cos ^{2}\alpha }\,x^{2}+\tan \alpha \times x+z_{0}$

Altitude maximale atteinte

Définition

On appelle flèche la hauteur maximale de la trajectoire d'un projectile par rapport au plan horizontal dans lequel est contenu le point d'origine du tir.

Quand le projectile est au sommet de sa trajectoire, on a : $V_{z}=0$

$t={V_{0}\,\sin \alpha \over g}$

On reporte dans z(t) :

$h=-{1 \over 2}\,g\,{V_{o}^{2}\,\sin ^{2}\alpha \over g^{2}}+{V_{o}^{2}\,\sin ^{2}\alpha \over g}$

$h={V_{o}^{2}\,\sin ^{2}\alpha \over 2g}$

Pour une vitesse initiale fixée, la plus grande flèche possible est obtenue quand $\sin \,\alpha =1$, c'est-à-dire pour un angle de tir de 90°.

Portée

Définition

On appelle portée la distance horizontale que le projectile parcourt avant de toucher le sol.

On résout z(d)=0.

$-{1 \over 2}\,{g \over V_{0}^{2}\,\cos ^{2}\alpha }\,d^{2}+\tan \alpha \times d=0$

$d\left(-{1 \over 2}\,{g \over V_{0}^{2}\,\cos ^{2}\alpha }\,d+\tan \alpha \right)=0$

$d={2V_{0}^{2}\,\cos ^{2}\alpha \over g}\tan \alpha ={2V_{0}^{2} \over g}\,\cos \alpha \,\sin \alpha ={V_{0}^{2} \over g}\,\sin 2\alpha$

$d={V_{0}^{2} \over g}\,\sin 2\alpha$

La portée est maximale quand $\sin \,2\alpha$ est maximal :

$\sin 2\alpha =1\iff 2\alpha ={\pi \over 2}\iff \alpha ={\pi \over 4}=45^{\circ }$

Pour une vitesse initiale fixée, la portée est maximale pour un angle de tir de 45°.