Leçons de niveau 14

Mécanique du point/Dynamique

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Dynamique
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Chapitre no 3
Leçon : Mécanique du point
Chap. préc. :Cinématique
Chap. suiv. :Travail et Énergie
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Mécanique du point/Dynamique
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Lois de Newton[modifier | modifier le wikicode]

Application : Étude de la trajectoire d'un projectile en chute libre[modifier | modifier le wikicode]

Le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique.

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point M0(x0, y0, z0) avec une vitesse initiale faisant un angle α avec l'axe (Ox)

On suppose ici qu’il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe , tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

Résolution de l'équation[modifier | modifier le wikicode]

La seule force à laquelle soit soumis le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air).

On applique le principe fondamental de la dynamique au projectile :

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

C1, C2 et C3 sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales.

En effet à t = 0 :

,

soit et donc

On a donc :

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

C4, C5 et C6 sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

À t = 0,

Donc
d'où

Équation de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

On choisit l'origine de manière à avoir . On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l’expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit

On obtient donc :



Altitude maximale atteinte[modifier | modifier le wikicode]


Quand le projectile est au sommet de sa trajectoire, on a :

On reporte dans z(t) :



Pour une vitesse initiale fixée, la plus grande flèche possible est obtenue quand , c'est-à-dire pour un angle de tir de 90°.


Portée[modifier | modifier le wikicode]


On résout z(d)=0.




La portée est maximale quand est maximal :

Pour une vitesse initiale fixée, la portée est maximale pour un angle de tir de 45°.