Mécanique des milieux continus élastiques isotropes/Définitions

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Vecteur déplacement

Considérant un point M quelconque, et le point M' image du point M par la déformation, on définit le vecteur déplacement u(M) par le vecteur MM'. Il s'agit donc ici d'un champ de vecteurs, car en chaque point M correspond un vecteur u unique.

Équations de Navier

Tout champ de vecteur ne décrit pas forcément un champ de déplacements valide du point de vue de la théorie. Un champ de vecteur est susceptible de décrire le comportement d'un milieu élastique si et seulement s'il satisfait aux équations de Navier :

$(\lambda +\mu ){\vec {\nabla }}({\text{div}}{\vec {u}})+\mu {\vec {\Delta }}{\vec {u}}+{\vec {f}}={\vec {0}}$

où $\lambda$ et $\mu$ sont les coefficients d'élasticité de Lamé, et f est le champ de forces volumique appliqué au milieu.

Tenseur des déformations

Le tenseur des déformations, noté ε sert à décrire les déformations subies par le milieu. Il est surtout utilisé en tant qu'intermédiaire entre le tenseur des contraintes et le champ des déplacements. Le vecteur déplacement et le tenseur des déformations sont reliés par la relation :${\displaystyle }$${\mathcal {E}}={\nabla u+{}^{t}\nabla u \over 2}$

dans le cadre des hypothèses des petites perturbations (HPP) de l'élasticité classique.

Équations de compatibilité

Comme pour le champ des déplacements, le tenseur des déformations doit vérifier certaines conditions pour être valide, que sont les équations de compatibilité. Elles sont au nombre de six, mais peuvent facilement être ramené à deux, par permutation circulaire :

$e_{11,22}+e_{22,11}=2e_{12,12}$

$e_{22,33}+e_{33,22}=2e_{23,23}$

$e_{33,11}+e_{11,33}=2e_{31,31}$

$e_{11,23}+e_{23,11}=e_{12,13}+e_{13,12}$

$e_{22,31}+e_{31,22}=e_{23,21}+e_{21,23}$

$e_{33,12}+e_{12,33}=e_{31,32}+e_{32,31}$

Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes, noté $\sigma$ permet de décrire les efforts subis par le milieu. Il permet également de prendre en compte les efforts surfaciques. Il est lui aussi symétrique.

On peut passer du tenseur des déformations au tenseur des contraintes grâce à la relation suivante :

$\sigma =\lambda \mathrm {Tr} {\mathcal {E}}\mathbb {I} \mathrm {d} +2\mu {\mathcal {E}}$

Dans un problème statique, le système doit être à l'équilibre, ce qui se traduit par :

${\vec {\mathrm {div} }}\sigma +{\vec {f}}=0$