Logique (mathématiques)/Exercices/Méthode des tableaux

Voici 2 types d'exercices : un où la proposition est vraie et l'autre où la proposition est fausse.

Type 1

Par temps d'hiver, pour passer en Andorre, il suffit d’avoir les pneus cloutés ou de mettre les chaînes à neige. L'hiver dernier Pierre n’est pas passé en Andorre. Sa voiture n'avait pas de pneus cloutés.

• Prouvez que Pierre n'a pas mis les chaînes à neige. Pour le faire, traduisez ces phrases en logique propositionnelle et utilisez la méthode des tableaux.

Solution

• Traduction des phrases en logique propositionnelle :

H : "Temps d'hiver"
A : "Passer en Andorre"
P : "Avoir des pneus cloutés"
C : "Avoir des chaînes à neige"
Grâce au texte, on obtient la conséquence suivante : $\{(H\land (P\lor C))\rightarrow A,H\land \neg A\land \neg P\}\models \neg C$
$(H\land (P\lor C))\rightarrow A$ correspond à "Par temps d'hiver, pour passer en Andorre, il suffit d’avoir les pneus cloutés ou de mettre les chaînes à neige."
$H\land \neg A\land \neg P$ correspond à "L'hiver dernier Pierre n’est pas passé en Andorre. Sa voiture n'avait pas de pneus cloutés."
$\neg C$ correspond à "Prouvez que Pierre n'a pas mis les chaînes à neige."

• Nous pouvons démontrer la conséquence sans oublier de nier $\neg C$.

La conséquence est vraie.

 

Type 2

Soit la conséquence suivante : $\{a,b\rightarrow \neg (a\lor c)\}\models c\lor \neg a$.

• Est-elle vraie ? Prouvez-le en utilisant la méthode des tableaux.

Si non, donnez un contre-modèle.

Solution

Nous démontrons la conséquence sans oublier de nier $c\lor \neg a$ :

La conséquence est fausse car une branche n’est pas fermée et le contre-modèle est donc :
$a=1,b=0,c=0$