Limites d'une fonction/Limite infinie en un point

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Introduction

La plupart des fonctions usuelles sont continues en tout point de leur domaine de définition. Mais le langage des limites va permettre de parler de celles qui présentent des singularités en certains points, comme la fonction inverse $f(x)={\frac {1}{x}}$, dont voici la courbe :

On constate que la fonction inverse n’est pas continue en x=0, et que non seulement on est obligé de « lever le crayon » pour passer de la branche gauche de la courbe à la branche droite, mais en plus la courbe « part à l'infini ». Ceci nous amène à la notion de limite infinie en un point.

Limite infinie en un point

Exemple

Dans le cas de la fonction inverse ci-dessus, on constate que quand x tend vers 0 par la droite, son inverse ${\frac {1}{x}}$ devient de plus en plus grand. On dit alors qu’il tend vers « plus l'infini », et on note $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty$

Par contre, quand x tend vers 0 par la gauche, son inverse ${\frac {1}{x}}$ devient de plus en plus petit. On dit à ce moment-là qu’il tend vers « moins l'infini », et on note $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$

Définition heuristique

Définition

On dit qu'une fonction f tend vers plus l'infini en un point a si f(x) devient aussi grand qu'on le veut à condition que x s'approche suffisamment de a. On note : $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty$

Définition

On dit qu'une fonction f tend vers moins l'infini en un point a si f(x) devient aussi petit qu'on le veut à condition que x s'approche suffisamment de a. On note : $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$

On peut également définir des limites infinies à droite ou à gauche d'un point comme on l'a fait avec la fonction inverse.

Début de l'exemple

Exemple

Dans le cas de la fonction ci-contre :

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$

Fin de l'exemple