LA COLORIMETRIE CIE1931 xyY-2°-Explication mathématique simple-

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LA COLORIMETRIE CIE1931 xyY2°.

EXPLICATION MATHEMATIQUE SIMPLE.

On part des expériences de David WRIGHT et John GUILD donnant les valeurs (r,g,b) définissant la chromaticité des lumières. Ce sont les proportions des lumières primaires NPL (tests) 700 nm (rouge pour r), 546,1 nm (vert-green pour g) et 435,8 nm (bleu pour b), pouvant reconstituer (métamériser) une lumière spectrale monochromatique.Certaines de ces proportions peuvent être négatives, en ce sens que pour métamériser une même proportion des lumières primaires bleue et verte, il faut ajouter un peu de la primaire rouge à la lumière cyan monochromatique de 494nm. On compare en fait 2 métamères( vert+bleu et cyan+rouge).

Ce tableau des valeurs (r,g,b) est transformé mathématiquement avec l'aide de la fonction V(λ) qui définit la luminance (fonction de visibilité ou d'efficacité de l'oeil humain). Cette fonction est prise égale à 1 pour 555 nm et est très faible pour le rouge et le bleu.C'est bien pourquoi la lumière verte apparaît très claire et les lumières rouge et bleue apparaissent foncées donc beaucoup moins claires que la lumière verte, à même nombre de photons émis pour les lumières, donc à lumières d'énergies égales, ce qui correspond au diagramme de chromaticité équi-énergétique. Pour que les lumières rouge et bleue apparaissent aussi claires que le vert(donc aient la même luminance) il faut qu'elles soient constituées de beaucoup de photons donc que leur source soit très puissante. V(λ) est inversement proportionnelle au nombre de photons nécessaires pour obtenir la même luminance que la lumière vert-jaune de 555 nm donc à l'énergie.


Les calculs suivants ne peuvent se faire qu'avec un tableur.

On étudie la colorimétrie de CIE1931 xyY2°, où Y=V(λ)=V(1924)

On cherche des coefficients d,e,f tels que :

a/Pour tout λ D=dr+eg+fb.

Que l'on peut écrire :

(D)=Matrice(r,g,b)*Matrice(def).

Matrice(def) étant le vecteur colonne des coefficients d,e,f et (D) le vecteur colonne résultant.

b/(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D.

Cela signifie que pour tout λ rbar=r*V/D,gbar=g*V/D,bbar=b*V/D.

c/On veut que les sommes Σbbar=Σgbar=Σbbar=ΣV(λ)=21,3714.....

Par ajustements successifs de d,e,f en partant de valeurs quelconques >0 avec d+e+f=1, on trouve d=0,17697,e=0,81240,f=0,01063

Ensuite on cherche les coefficients a,b,c,g,h,i de façon :

a/(xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*M :

M est la matrice carrée 3x3 constituée des coefficients a à i.

avec les colonnes a,b,c-d,e,f-g,h,i. Rappelons que d,e,f sont connus.

c/(x,y,z)=(xbar,ybar=V1924,zbar)/n1 de façon que x>=0 et z>=0.

n1=xbar+ybar+zbar

Par ajustements successifs de a,b,c,g,h,i on trouve :


Ainsi de la matrice (r,g,b) avec V1924 on arrive à une matrice (x,y,z) et Y=V1924.

Comme x+y+z=1 , z=1-x-y donc z est connu quand on connait x et y.

Le diagramme de chromaticité est donc résumé à xy.

Pendant les calculs de a,b,c,g,h,i on peut s'aider du diagramme x,y obtenu par la fonction diagramme du tableur.

Ce diagramme peut être aussi vu en coordonnées triangulaires xtri,ytri.

Avec :

xtri=x+y/2.

ytri=y*(3^0,5)/2.

λ r g b V1924
360 0,032 -0,012 0,98 0,00001
365 0,031 -0,012 0,981 0,00001
370 0,03 -0,012 0,982 0,00001
375 0,029 -0,012 0,983 0,00002
380 0.000 -0,012 0,984 0,00004
385 0,027 -0,012 0,984 0,00006
390 0.000 -0,011 0,985 0,00012
395 0,026 -0,011 0,986 0,00022
400 1.000 -0,011 0,986 0,00040
405 0,024 -0,011 0,987 0,00064
410 0,022 -0,011 0,988 0,00121
415 0,021 -0,01 0,99 0,00218
420 0,018 -0,01 0,991 0,00400
425 0,014 -0,008 0,993 0,00730
430 0,009 -0,005 0,996 0,01160
435 0,001 -0,001 0,999 0,01684
440 -0,008 0,005 1,004 0,02300
445 -0,021 0,012 1,009 0,02980
450 -0,039 0,022 1,017 0,03800
455 -0,062 0,034 1,027 0,04800
460 -0,091 0,052 1,039 0,06000
465 -0,128 0,076 1,052 0,07390
470 -0,182 0,117 1,064 0,09098
475 -0,258 0,184 1,074 0,11260
480 -0,366 0,29 1,076 0,13902
485 -0,519 0,457 1,063 0,16930
490 -0,714 0,699 1,015 0,20802
495 -0,945 1,024 0,92 0,25860
500 -1,166 1,389 0,777 0,32300
505 -1,349 1,744 0,606 0,40730
510 -1,335 1,93 0,405 0,50300
515 -1,205 1,968 0,237 0,60820
520 -0,981 1,852 0,129 0,71000
525 -0,737 1,665 0,072 0,79320
530 -0,515 1,475 0,04 0,86200
535 -0,33 1,31 0,02 0,91495
540 -0,17 1,162 0,008 0,95400
545 -0,029 1,028 0,001 0,98030
550 0,098 0,905 -0,003 0,99495
555 0,212 0,792 -0,004 1,00000
560 0,318 0,688 -0,005 0,995000
565 0,411 0,593 -0,004 0,978600
570 0,497 0,507 -0,004 0,952000
575 0,575 0,428 -0,003 0,915400
580 0,645 0,358 -0,002 0,870000
585 0,707 0,295 -0,002 0,816300
590 0,762 0,24 -0,002 0,757000
595 0,809 0,193 -0,001 0,694900
600 0,847 0,154 -0,001 0,63100
605 0,88 0,121 -0,001 0,56680
610 0,906 0,095 -0,001 0,50300
615 0,926 0,074 -0,001 0,44120
620 0,942 0,058 0 0,38100
625 0,955 0,045 0 0,32100
630 0,965 0,035 0 0,26500
635 0,973 0,027 0 0,21700
640 0,98 0,021 0 0,17500
645 0,985 0,015 0 0,13820
650 0,989 0,011 0 0,10700
655 0,992 0,008 0 0,08160
660 0,994 0,006 0 0,06100
665 0,995 0,005 0 0,04458
670 0,997 0,004 0 0,03200
675 0,997 0,003 0 0,02320
680 0,998 0,002 0 0,01700
685 0,999 0,001 0 0,01192
690 1 0 0 0,00821
695 1 0 0 0,00572
700 1 0 0 0,00410
705 1 0 0 0,00293
710 1 0 0 0,00209
715 1 0 0 0,00148
720 1 0 0 0,00105
725 1 0 0 0,00074
730 1 0 0 0,00052
735 1 0 0 0,00036
740 1 0 0 0,00025
745 1 0 0 0,00017
750 1 0 0 0,00012
755 1 0 0 0,00008
760 1 0 0 0,00004
765 1 0 0 0,00003
770 1 0 0 0,00002
775 1 0 0 0,00001
780 1 0 0 0,00001
785 1 0 0 0,00001
790 1 0 0 0,00001
795 1 0 0 0,00001
800 1 0 0 0,00001
805 1 0 0 0,00001
810 1 0 0 0,00001
815 1 0 0 0,00001
820 1 0 0 0,00001
825 1 0 0 0,00001
830 1 0 0 0,00001


Pour importer ce tableau dans un tableur faire un copier en mode modifier le wikicode et copier sur une feuille de votre tableur.


Avec ce tableau vous pouvez refaire tous les calculs indiqués ci dessus. Vous pouvez vous dispensez des ajustements en prenant les valeurs de la matrice M. Vous arriverez ainsi à xyY2°.

Quand on additionne des lumières, pour la lumière résultante les luminances Y s'ajoutent, de même que les luminances barycentriques Y/y.

Ainsi sur votre tableur, vous pouvez additionner des lumières, ce qui est un des buts principaux de la colorimétrie : Prévoir ce que donnera le mélange de 2 lumières.