L'incomplétude mathématique/Les ensembles indicibles sont indéfinis
Les ensembles indicibles conduisent à des énoncés indéfinis, c’est-à-dire des énoncés pour lesquels on ne sait pas vraiment donner un sens à l’affirmation de leur vérité ou de leur fausseté.
Tous les ensembles indicibles sont indéfinis, pour les raisons suivantes.
Pour donner un sens à une affirmation d’existence d’un élément d’un ensemble E, il faut une théorie. Par définition des ensembles indicibles, ceux-ci ne peuvent pas être complètement définis à l’intérieur d’une théorie. Comment savoir alors si une affirmation d’inexistence est vraie ? Si un être n’existe pas dans une théorie, il pourrait exister dans une autre. La seule façon de prouver de telles affirmations d’inexistence consiste à prouver que l’existence conduirait à une contradiction. Mais la présence d’une contradiction dans une théorie dépend de tous les axiomes qui la définissent. L’existence de l’ensemble de tous les ensembles par exemple conduit à une contradiction dans la théorie ZFC mais pas dans la théorie du zig-zag interdit. La vérité des énoncés d’existence sur le contenu des ensembles indicibles ne peut donc pas être définie d’une façon non-équivoque. Elle dépend d’une part d’arbitraire dans le choix des axiomes.
L’hypothèse du continu, « le plus petit nombre ordinal infini dont le cardinal est plus grand que celui du premier ordinal infini, est le nombre des nombres réels », est l’un des plus célèbres de ces énoncés indéfinis. Sa vérité est problèmatique. Le problème n’est pas seulement qu’on ne sait pas s’il est vrai ou faux mais surtout qu’on ne sait pas bien quel sens donner à l’affirmation de sa vérité ou de sa fausseté.
L’ensemble PC(O) de tous les ordinaux inférieurs à un ordinal donné O et dont le cardinal est plus grand que celui du premier ordinal infini, est un ensemble indéfini, parce que la vérité des énoncés d’appartenance à PC(O) n’est pas définie de façon univoque. Il restera indéfini tant qu’on ne saura pas comment définir sa vérité avec fiabilité et précision.
