Jeux d'allumettes/Jeu de Marienbad
Le jeu de Marienbad est un jeu de Nim classique qui a été rendu célèbre par le film d'Alain Resnais L'année dernière à Marienbad (1961).
Le jeu est constitué de plusieurs tas (ici ce sont des rangées). Chaque joueur choisit le tas de son choix, et dans ce tas, prend le nombre d'allumettes de son choix.
Dans la version du film, il y a quatre rangées, avec respectivement 1, 3, 5, 7 allumettes. À chaque tour, le joueur prend le nombre d'allumettes qu’il veut, au moins une et dans une même rangée. Le joueur qui ramasse la dernière allumette a perdu.
variante
[modifier | modifier le wikicode]Dans une variante, le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.
Comment gagner
[modifier | modifier le wikicode]La position de départ se fait avec 1, 3, 5 et 7 allumettes. On écrit ces nombres dans le système binaire:
- 1 = 0 0 1 en binaire
- 3 = 0 1 1
- 5 = 1 0 1
- 7 = 1 1 1
On effectue les sommes des chiffres binaires colonne par colonne en base dix, on trouve :
- S = 2 2 4
- cas où le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.
Selon le théorème de Sprague-Grundy, une position est gagnante pour un joueur si et seulement si tous les chiffres de S sont pairs.
Donc la position initiale est perdante pour le premier joueur, son adversaire ayant la possibilité de conserver cette propriété de S tout le long de la partie.
- cas où celui qui prend la dernière allumette est le perdant
la stratégie est la même jusqu'à ce qu’il ne reste plus que des lignes ayant une allumette, situation à partir de laquelle il convient de laisser à son adversaire un nombre impair de telles lignes.
