Leçons de niveau 16

Introduction aux transferts thermiques/Équation de la chaleur

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Équation de la chaleur
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Chapitre no 3
Leçon : Introduction aux transferts thermiques
Chap. préc. :Modes de transfert de chaleur
Chap. suiv. :Approche d'un problème de transfert thermique
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Introduction aux transferts thermiques/Équation de la chaleur
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On a vu au chapitre 1 une mise en équation locale du phénomène de transfert de chaleur dans un corps. Cette approche ne traitait qu'une partie des questions liées à cette mise en équation. On traitera ici un cas plus général.

Le système considéré, de volume V et de surface externe Σ, est indéformable. Nous sommes dans un cas de conduction pure, aucun transfert d'énergie ne se produisant par déplacement de matière :

  • pas de convection ;
  • chaleur massique en J/kg/K ;
  • masse volumique : .

Le taux de variation d'énergie interne U du système s'écrit ainsi :
L'énergie reçue par le système à ses frontières est :

(on convient du signe positif quand le système reçoit effectivement cette énergie)

Le système peut éventuellement avoir des sources internes d'énergie (effet Joule, réaction chimique, etc.) qui s'écrivent :


Selon le premier principe de la thermodynamique :

Le théorème de la divergence permet de ramener cette équation de bilan à une équation locale en chaque point :

On rappelle que le milieu est indéformable :
Si de plus le milieu est opaque, on a :
Enfin, en milieu isotrope :

Dans le cas général, la conductivité du solide λ est dépendante de la température. Les grandeurs ρ et C sont également dépendantes de T, mais ne sont pas dérivées spatialement. On écrit donc :

L'équation de la chaleur devient :


Sans la thermodépendance on a :

On pose : (a diffusivité en