Introduction à la thermodynamique/Exercices/Coefficients thermoélastiques

Exercice 1

Compression adiabatique et quasi-statique

Une compression adiabatique et quasi-statique sera aussi dite isentropique ou encore réversible.

On appelle compressibilité adiabatique, le coefficient:

$\chi _{S}=-{\frac {1}{V}}.{\Bigl (}{\frac {\partial V}{\partial p}}{\Bigr )}_{S}=\chi _{S}(p,S)$

1) Calculer les variations dT et dµ quand on fait une variation dP lors d'un processus adiabatique et quasi-statique.

2) Montrer que:

${\frac {c_{P}}{c_{v}}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}$

En déduire une relation telle que $\chi _{T}-\chi _{S}=f(T,v,c_{P},\alpha )$

Solution

1)

$dT=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S,N,...}dP$

comme

$\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}.\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{T}.\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}=-1$

donc

$\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}=-{\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}}}=+{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}}}={\frac {\alpha .V}{\left({\frac {{\mathcal {C}}_{p}}{T}}\right)}}$

comme on a pour N moles : ${\mathcal {C}}_{p}=N.c_{p}\ \ \ \ et\ \ \ \ V=N.v$

alors

$dT=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}dP={\frac {T.\alpha .v}{c_{p}}}\ .\ dP$

Pour une petite variation δP, on aura une variation δT telle que:

$\delta T\ \ \approx \ \ {\frac {T.\alpha .v}{c_{p}}}\ .\ \delta P$

de même, on aura:

$d\mu =\left({\frac {\partial \mu }{\partial P}}\right)_{S}dP$

et

$d\mu =v.dP-s.dT$

on en déduit:

$\left({\frac {\partial \mu }{\partial P}}\right)_{S}=v-s.\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{S}=v-s.{\frac {T.\alpha .v}{c_{p}}}$

donc

$\delta \mu \ \ \approx \ \ \ \left\{v-s.{\frac {T.\alpha .v}{c_{p}}}\right\}\ .\ \delta P$

2)

$\chi _{S}=-{\frac {1}{V}}.{\Bigl (}{\frac {\partial V}{\partial p}}{\Bigr )}_{S}$

$\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{S}=-{\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{V}}{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{P}}}=-{\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}.\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}}{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{P}.\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{P}}}=-{\frac {c_{v}}{c_{p}}}.\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}.{\frac {1}{\alpha .V}}$

$\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{V}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}{\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}}=-{\frac {\chi _{T}.V}{\alpha .V}}=-{\frac {\chi _{T}}{\alpha }}$

donc $:\ \ \ \ \chi _{S}=+{\frac {1}{V}}.{\frac {c_{v}}{c_{p}}}.{\frac {\chi _{T}}{\alpha }}.(\alpha .V)={\frac {c_{v}}{c_{p}}}.\chi _{T}$

et

${\frac {c_{P}}{c_{v}}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}$

comme $:\ \ \ \ \ \ c_{p}-c_{v}=T.v.\alpha ^{2}/\chi _{T}$

On en déduit que:

$\chi _{T}-\chi _{S}={\frac {T.v.\alpha ^{2}}{c_{P}}}$