Leçons de niveau 16

Introduction à la mécanique quantique/Annexe/Solutions exactes

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Solutions exactes de l'équation de Schrödinger
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Annexe 1
Leçon : Introduction à la mécanique quantique

Annexe de niveau 16.

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Il existe un ensemble relativement restreint de solutions exactes à l'équation de Schrödinger. En voici quelques unes, sans démonstration.

Particule libre[modifier | modifier le wikicode]

La fonction d'onde d'une particule libre possédant une quantité de mouvement et une énergie est de la forme :

Avec la longueur d'onde de de Broglie associée à la particule. La mécanique classique correspond au cas limite d'une longueur d'onde de de Broglie nulle.

Puits de potentiel[modifier | modifier le wikicode]

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un puits de potentiel de largeur sont quantifiés et tendent vers l'infini :

La fonction d'onde de l'état stationnaire est alors :

Oscillateur harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont :

La fonction d'onde en régime stationnaire est de la forme :

où les sont les polynômes d'Hermite.

Particule dans un potentiel à symétrie sphérique[modifier | modifier le wikicode]

La fonction d'onde d'une particule dans un potentiel est de la forme :

où les sont les harmoniques sphériques. Les états correspondant aux valeurs du moment angulaire sont indiqués par les lettres . Il est intéressant de remarquer que l’on peut séparer la partie « radiale » (qui dépend de r uniquement) de la partie « angulaire » (qui dépend des deux paramètres angulaires).

Particule dans un champ coulombien[modifier | modifier le wikicode]

Les niveaux d'énergie d'une particule dans un potentiel coulombien attractif sont :

La partie radiale de la fonction d'onde associée à l'état stationnaire ( étant ramenés à l'unité) est :

où les sont les polynômes généralisés de Laguerre.