Introduction à la mécanique des fluides/Exercices/Air en altitude

Calculer la masse volumique de l'air à une altitude h de 10 km sachant que la pression P est de $2,62.10^4$ Pa et la Température T à -50 °C. On assimilera l'air à un gaz parfait.

Solution

1. L'air est considéré comme un gaz parfait :

$PV=nRT$.

2. On fait apparaitre la masse volumique :

$\rho =\frac{PM}{RT}$.

3. La masse molaire de l'air composé à 79% de N2 et 21% d'O2 est d’après le tableau de Mendeliev :

$M_{air}=\frac{79}{100}{M}_{diazote}+\frac{21}{100}{M}_{dioxygene}=28.84\mathrm{g}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

4. Dans les conditions normales, c'est-à-dire à la surface de la Terre :

$P_{normale}=1atm=101325\mathrm{P}\mathrm{a}$ ;

$T_{normale}=0{}^{\mathrm{\circ }}\mathrm{C}=173\mathrm{K}$ ;

${\rho }_{normale}=\frac{101325\ast 28,84}{8,314\ast 273}=1,287\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}$.

5. A 10 km d'altitude :

$\rho =\frac{P{M}_{air}}{RT}$ ;

${\rho }_{normale}=\frac{P_{normale}.M_{air}}{R.T_{normale}}$.

En divisant la première ligne par la deuxième, il vient :

$\rho ={\rho }_{normale}\cdot \frac{P}{P_{normale}}\cdot \frac{T_{normale}}{T}=1.287\cdot \frac{2,62.10^4}{101325}\cdot \frac{273}{223}$

$\rho =0,40\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}$.