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Introduction à la mécanique des fluides/Annexe/Rappels de Mathématiques

Leçons de niveau 15
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Rappels de Mathématiques
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Annexe 1
Leçon : Introduction à la mécanique des fluides

Annexe de niveau 15.

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Introduction à la mécanique des fluides/Annexe/Rappels de Mathématiques
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Définitions
  • mécanique : science du mouvement et de l'équilibre
  • mouvement : cinématique, qui cherche à déterminer la trajectoire.

Pour rappel, on a :

  • science: étude de quelque chose, on remonte aux causes.
  • causes: Forces , Newton: et

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice et se font dans la ligne dans laquelle la force a été imprimée. La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse.

  • Fluide: somme des gaz et des liquides. Le fluide est un corps qui ne peut pas conserver un effort de cisaillement pendant une durée quelconque.
Équation de Navier-Stokes

avec la masse volumique, l'energie potentielle par unité de masse, et le tenseur des contraintes visqueuses.

opérateur différentiels

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Scalaire, vecteur et tenseur

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Un scalaire est un nombre réel, une unité.

Un champ scalaire est un scalaire définit en chaque point d'un espace donné.

Un vecteur se définit par son intensité, son orientation. C'est aussi une unité.

Un champ vectoriel est un vecteur défini en chaque point d'un espace a deux dimensions donné.

Tenseur d'ordre 2
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Un tenseur d'ordre 2 est un outil mathématique qui regroupe 9 nombres réels. C'est aussi l'unité supérieure au vecteur.

Un champ tensoriel définit les vecteurs pour chaque orientation vectorielle. Pour exemple, on peut s'intéresser au tenseur des déformations.

Opérateur gradient
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Convention d'Einstein:

Si un indice est répété 2 fois, on sous-entend qu’il faut faire la somme des 3 composantes de cet indice.

Opérateur divergence
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conservation de la masse.

Opérateur rotationel
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Opérateur Laplacien
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Laplace est le Newton français : il a rendu toutes les théories newtoniennes géométriques en algébrique. Pour satisfaire le besoin de passer de la force gravitationelle au potentiel gravitationel, on utilise le Laplacien.

Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles

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Relations entre opérateurs

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Avec le symbole de Kronecker, on a donc: