Leçons de niveau 15

Introduction à la mécanique des fluides/Annexe/Rappels de Mathématiques

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Rappels de Mathématiques
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Annexe 1
Leçon : Introduction à la mécanique des fluides

Annexe de niveau 15.

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chapitre 1er[modifier | modifier le wikicode]

Definitions

mécanique: science du mouvement et de l'équilibre

mouvement: cinématique , qui cherche a déterminer la trajectoire.

Pour rappel, on a:




science: étude de quelque chose, on remonte aux causes.


causes: Forces , Newton: et


Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels a la force motrice et se font dans la ligne dans laquelle la force a été imprimée. La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse.


Fluide: somme des gaz et des liquides. Le fluide est un corps qui ne peut pas conserver un effort de cisaillement pendant une durée quelconque.


  • Équation de Navier-Stokes:



avec la masse volumique, l'energie potentielle par unité de masse, et le tenseur des contraintes visqueuses.

chapitre 2nd[modifier | modifier le wikicode]

opérateur différentiels[modifier | modifier le wikicode]

  • 1) Scalaire, vecteur et tenseur

a) Scalaire

Un scalaire est un nombre réel, une unité

Un champ scalaire est un scalaire définit en chaque point d'un espace donné.


b) Vecteur

Un vecteur se définit par son intensité, son orientation. C'est aussi une unité.

Un champ vectoriel est un vecteur définit en chaque point d'un espace a deux dimensions donné.


c) Tenseur d'ordre 2

Un tenseur d'ordre 2 est un outil mathématique qui regroupe 9 nombres réels. C'est aussi l'unité supérieur au vecteur.

Un champ tensoriel définit les vecteurs pour chaque orientation vectorielle. Pour exemple, on peut s'intéresser au tenseur des déformations.



  • 2) Opérateurs


a) Opérateur gradient





Convention d'Einstein:

Si un indice est répété 2 fois, on sous entends qu’il faut faire la somme des 3 composantes de cet indice.


b) Opérateur divergence



conservation de la masse.




c) Opérateur rotationel




d) Opérateur Laplacien

Laplace est le Newton français: il a rendu toutes les théories newtoniennes géométriques en algébrique. Pour satisfaire le besoin de passer de la force gravitationelle au potentiel gravitationel, on utilise le Laplacien.





Relations entre opérateurs et relations intégrodifférentielles[modifier | modifier le wikicode]

1) Relations entre opérateurs






Avec le symbole de Kronecker, on a donc: