Initiation aux systèmes d'équations/Principes élémentaires de résolution
Nous allons voir dans ce chapitre les premiers rudiments de la résolution d'une équation.
Résolution en effectuant la même opération sur les deux membres
[modifier | modifier le wikicode]Nous allons voir dans ce paragraphe un principe simple permettant de résoudre un grand nombre d'équations.
Si l’on ajoute un même nombre aux deux membres d'une équation à résoudre,
Si l’on soustrait un même nombre aux deux membres d'une équation à résoudre,
Si l'on multiplie les deux membres d'une équation à résoudre par un même nombre (non nul),
Si l'on divise les deux membres d'une équation à résoudre par un même nombre (non nul),
alors on obtient une nouvelle équation ayant les mêmes solutions que l'équation que l’on avait à résoudre.
Ce que nous venons d'énoncer est tellement évident qu’il n’est pas besoin d’en donner une démonstration. C'est pour cela que nous l'avons énoncé en principe et non en théorème.
Tout le monde comprendra aisément que si l’on prend deux bâtons de même longueur et si à chacun de ces deux bâtons, on coupe 10 cm, on obtiendra à nouveau deux bâtons de même longueur. Il en est de même pour les deux membres d'une équation qui sont sensés être égaux. Si l’on enlève (ou si l’on ajoute) un même nombre aux deux membres, alors les deux membres resteront égaux pour les mêmes valeurs de l'inconnue.
De la même façon, si l’on prend deux bâtons de même longueur et si on les coupe chacun en deux parties égales, alors on obtiendra encore des bâtons de même longueur.
De même, si l’on divise (ou l’on multiplie) les deux membres d'une équation par un même nombre non nul, on obtiendra une nouvelle équation dont les deux membres sont égaux pour les mêmes valeurs de l'inconnue.
Nous pouvons utiliser le principe précédent pour résoudre une équation. Prenons des exemples :
Premier exemple
[modifier | modifier le wikicode]Soit à résoudre l'équation :
Nous allons effectuer une suite d'opérations identiques sur les deux membres de façon à rendre l'équation de plus en plus simple jusqu'à ce que la solution soit évidente.
Réfléchissons. Il y a deux x dans le premier membre et seulement un x dans le deuxième. Si l’on enlève un x à chaque membre, il n'y aura plus qu'un x dans le premier membre et plus aucun x dans le second membre :
En enlevant un x à chaque membre, on obtient donc :
Et on a simplifié l'équation.
Réfléchissons à nouveau ! Il y a 3 dans le premier membre et 7 dans le second membre. Si l’on enlève 3 aux deux membres, il restera 0 dans le premier membre et 4 dans le second membre.
En enlevant 3 au deux membres, il reste donc :
Et nous voyons que la solution est évidente. Vérifions que nous n'avons pas fait d'erreur. Reprenons l'équation de départ :
En remplaçant x par 4, nous voyons que le premier membre donne :
et le deuxième membre donne :
Nous obtenons la même valeur 11 pour les deux membres. 4 est donc bien la solution de l'équation que l’on devait résoudre.
