Leçons de niveau 14

Initiation à l'élasticité/Élasticité linéaire

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Élasticité linéaire
Icône de la faculté
Chapitre no 6
Leçon : Initiation à l'élasticité
Chap. préc. :Principe fondamental de la statique
Chap. suiv. :Photo-élasticimétrie
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Initiation à l'élasticité : Élasticité linéaire
Initiation à l'élasticité/Élasticité linéaire
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Le but de ce chapitre est pour une pièce sollicitée dont on connait :

  • Les conditions limites,
  • La géométrie,
  • Le matériau.

Déterminer en tout point de la pièce.

Nécessité d'une loi de comportement[modifier | modifier le wikicode]

les inconnues sont les suivantes :

Ce qui fait un total de 15 inconnues

les équations sont les suivantes:

Ce qui fait un total de 9 equations

Il manque 6 équations, il faudrait une relation entre et . Cette relation s’appelle la loi de comportement et elle est fonction du matériau.

Modélisation de la loi de comportement[modifier | modifier le wikicode]

Modélisation :

  • Expérimentale
  • Analyse théorique

Expérience : éprouvette en traction[modifier | modifier le wikicode]

Longueur eprouvette.JPG

On trace

Rupture de l'eprouvette.JPG

Traction seule jusqu'à rupture :

Eprouvette traction seule.JPG

Cycle charge / décharge :

Charge decharge.JPG

On définit plusieurs zones :

Diagramme ABCD.JPG
  • Zone 0A : partie linéaire, zone élastique.
    • le retour suit le même chemin que le chargement,
    • c’est un phénomène réversible,
    • pour un métal on parle d'élasticité linéaire,
    • limite au point A :
      • limite élasticité
      • limite proportion
      • yield stress

Dans ce cours on suppose que le matériau est élastique linéaire si , les hypothèses ne sont plus vérifiées.

  • Zone AB :
    • zone plastique
    • phénomène irréversible
    • AB: fluage : déformation à constante (liquides); on parle d'écoulement plastique.
  • Zone BC: écrouissage: , la limite élastique a augmenté.
  • Zone CD : rupture.

Les propriétés plastiques sont modélisables. On peut utiliser ces modélisations dans le domaine nucléaire et pour l'aéronautique spatiale et civile. On définit les coefficients de sécurité

  • plasticité ( donc plastique)

III. Élasticité classique[modifier | modifier le wikicode]

La loi de comportement évoquée ici est la plus simple et la plus utilisée.

1) Hypothèses[modifier | modifier le wikicode]

  • Homogénéité : La loi de comportement est la même en tout point du volume.
  • Isotrope : La loi de comportement est la même dans toutes les directions en un point donné.
  • Elasticité : Un milieu est dit élastique s'il existe un état du système dit état neutre pour lequel en tout point et si le tenseur est une fonction bijective du tenseur  : si alors

État neutre:

2) Loi de Hooke[modifier | modifier le wikicode]

Équation de l'élasticité classique/linéaire :

On veut une équation linéaire entre et , on écrit:

On simplifie pour arriver à la loi de Hooke : si

 ; coefficient de Lamé (constantes du matériau)

Avec:

  •  : coefficient de Lamé (Pa)
  •  : coefficient de Poisson
  •  : appelé aussi , module de cisaillement ou de glissement (Pa)
  •  : module de Young (Pa)

IV. Conséquences sur les hypothèses d'élasticité classique[modifier | modifier le wikicode]

1) Directions principales de et de [modifier | modifier le wikicode]

Comme le milieu (le matériau) est isotrope on peut montrer que les directions principales de et de sont les mêmes en particulier pour un matériau élastique linéaire.

si est diagonal alors l'est aussi.

2)Principe de superposition[modifier | modifier le wikicode]

Quand une loi de comportement est linéaire, le principe de superposition s'applique

  • Soit un volume V, sollicité par des efforts, et on a et en tout M de V.
  • Soit le même volume, sollicité par d'autres efforts on a et .

Si on applique , où a, b sont des constantes, sur le volume V, alors la linéarité de la loi de comportement dit que:

Exemple : si on connait et en tout point de V on a :

thumbs

Si on multiplie la sollicitation par K (constante) on a

Pour les calculs en éléments finis on applique des sollicitations telles que si possible.

IV. Résolution d’un problème en élasticité linéaire[modifier | modifier le wikicode]

On connait :

  • la géométrie de la pièce :
  • Le matériau : LDC élasticité
  • Les conditions limites : les appliquées par l’extérieur sur la pièce et les déplacements imposés (équation).
  • La force de volume.

En théorie on peut résoudre le problème, c'est-à-dire trouver en tout point M de V.
En pratique il faut trouver la solution d’un équation différentielle qui a peu de solutions analytiques.

On dispose d’outils numériques pour résoudre (éléments finis). Parfois les solutions sont très longues à obtenir.

Il faut analyser le problème pour essayer de trouver une simplification.

1. Analyse de la géométrie[modifier | modifier le wikicode]

Choix du repère[modifier | modifier le wikicode]

Le choix du repère influe sur les calculs.

thumbs

Il faut orienter les axes de manière à ce qu’ils soient parallèles aux faces extérieures et / ou aux sollicitations.

Il faut adapter le type de repère à la géométrie :

  • géométrie cylindrique : repère cylindrique.
  • géométrie sphérique : repère sphérique.

Axes de symétrie (éléments finis)[modifier | modifier le wikicode]

S’il existe des axes de symétrie dans la pièce on peut réduire le volume sur lequel on fait le calcul.

thumbs

On réduit comme cela les temps de calcul.

thumbs

Conditions limites sur les axes de symétrie :

Réduction de l’espace[modifier | modifier le wikicode]

  • en 3d :

Problème à 1 dimension : poutre en traction[modifier | modifier le wikicode]
thumbs

est l’effort.

LDC: Loi de Hooke:

En réalité les problèmes à une dimension n'existent pas, mais pour les poutres on ne s'occupe pas de et de

L'allongement

et

thumbs

Problème en 2 dimensions : Cas des plaques et des coques[modifier | modifier le wikicode]

On est dans le cas d'un volume plan tel qu'une des dimensions est largement inférieure aux autres dimensions.

thumbs
thumbs

Simplifications possibles

  • Les plaques ne sont pas sollicitées dans la direction des épaisseurs

Une plaque est un état plan de contraintes.

  • Les plaques sont localement des états plans de contraintes :
Coque plan de contrainte.JPG

État plan de contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Un état plan de déformations est défini comme ceci : Dans ce cas là on a une déformation plane en (x, y, z) et a une valeur nulle. Il y a une partie du système qui est bloquée en déplacement dans une direction sur une section.

Exemple

Etat plan de deformations.JPG

Il n’y a pas de déplacement suivant , les déplacements suivant (x, y ) sont indépendants de

On étudie le problème sur une des sections de la 3D, c’est donc une étude en 2D.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Cylindre plein en compression :

Cylindre en compression.JPG

Caractéristiques du cylindre :

  • Rayon R
  • Hauteur L
  • Pas de frottement entre le cylindre et les plaques
  • Cylindre composé d’un matériau élastique de caractéristiques

On veut trouver du cylindre.

  • Définition de V : 3 surfaces
  • Étude géométrique :
    • des sollicitations : dans l’axe du cylindre
    • de V : cylindre.

On a donc une géométrie cylindrique avec axe de symétrie de révolution. On fait donc le choix d’un repère cylindrique.

Repère cylindrique.JPG

Conditions limites :

  • Face r = R.
  • Face y = 0 (cartésien)
           Z=0 (cylindrique)
  • Face
    • ,
Coupe cylindre.JPG

On place les points pour définir le plan tels que

  • R= 0
Coupe teta.JPG

car il n’y a pas de variation géométrique ni de sollicitation suivant

Le problème est indépendant suivant et pour tout M appartenant à V.

Ur uy.JPG

est indépendant de y et est indépendant de r. On a donc

Que peut-on déduire pour  : analyse des conditions limites

  • sur face r=R , sur cette face et

  • Face ,, et

D’après la géométrie, les sollicitations on voit que tout est indépendant de r et de y, donc n’est pas fonction de r et de y. Donc pour tout M appartenant à V. Les conditions limites nous donnent : comment déduire

  • À l’équilibre on a

On a donc Remarque est obtenu avec la loi de Hooke :

On rappelle que On applique en cylindrique :

a/

b/

c/

On a donc Solution du problème