Géométrie affine/Devoir/Triangles et courbe

Exercice

Dans un plan affine ${\cal {E}}$, on considère un triangle non aplati $(PQR)$ et $G$ son isobarycentre.

a) Démontrer qu'il existe une unique application affine $f:{\cal {E}}\to {\cal {E}}$ envoyant le triangle ordonné $(PQR)$ sur le triangle ordonné $(QRP)$ (c'est-à-dire envoyant $P$ sur $Q$, $Q$ sur $R$ et $R$ sur $P$). On fixe désormais $f=$ cette application.

b) Démontrer que $f^{3}={\rm {id}}$.

c) Si $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ (avec $\alpha +\beta +\gamma =1$) est le triplet des coordonnées barycentriques d'un point $M$ dans le repère $(P,Q,R)$, quel est celui de $f(M)$ ?

d) En déduire que $G$ est l'unique point fixe de $f$.

e) En déduire que tout triangle dont les sommets sont permutés circulairement par $f$ a pour isobarycentre $G$.

f) (Exemple de construction d'un tel triangle) Soit ${\cal {D}}$ une droite de ${\cal {E}}$. Démontrer que $f({\cal {D}})$ est une droite sécante à ${\cal {D}}$ (indication : déduire de b) et d) que ${\overrightarrow {f}}$ n'a aucune valeur propre réelle). On note alors $\{S\}={\cal {D}}\cap f({\cal {D}})$, $T=f(S)$, $U=f(T)$. Caractériser $T$ comme intersection de deux droites. Caractériser de même $U$.

Solution

a) $(P,Q,R)$ est un repère affine de ${\cal {E}}$ donc pour tous $P',Q',R'\in {\cal {E}}$ il existe une unique application affine $f:{\cal {E}}\to {\cal {E}}$ envoyant $(PQR)$ sur $(P'Q'R')$.

b) ${\rm {id}}$ est l'unique application affine envoyant $(PQR)$ sur $(PQR)$, donc $f^{3}={\rm {id}}$.

c) $f(M)=f(\alpha P+\beta Q+\gamma R)=\alpha f(P)+\beta f(Q)+\gamma f(R)=\alpha Q+\beta R+\gamma P$ a pour coordonnées $(\gamma ,\alpha ,\beta )$.

d) $f(M)=M\Leftrightarrow \alpha =\beta =\gamma \Leftrightarrow M=G$.

e) Soit $M$ l'isobarycentre d'un triangle dont les sommets sont permutés circulairement par $f$. Alors $f(M)=M$ donc $M=G$.

f) D'après b), ${\overrightarrow {f}}^{3}={\rm {id}}$ donc le polynôme $X^{3}-1=(X-1)(X^{2}+X+1)$ annule ${\overrightarrow {f}}$, donc $1$ est la seule valeur propre réelle possible. D'après d), $1$ n'est pas valeur propre. Donc ${\overrightarrow {f}}$ n'a aucune valeur propre réelle. Donc la droite vectorielle ${\overrightarrow {f}}(D)$ est différente de $D$, autrement dit les droites affines $f({\cal {D}})$ et ${\cal {D}}$ sont non parallèles, donc sont sécantes. $T=f({\cal {D}})\cap f^{2}({\cal {D}})$, $U=f^{2}({\cal {D}})\cap {\cal {D}}$.

 

Problème

Soient ${\cal {E}}$ un plan affine, $(ABC)$ un triangle non aplati, $D$, $E$ et $F$ les milieux respectifs de $[A,B]$, $[A,C]$ et $[B,C]$, $O$ l'isobarycentre de $(ABC)$, $G_{1},G_{2},G_{3}$ les isobarycentres respectifs de $(ADE)$, $(BDF)$ et $(CEF)$, et $I$ le milieu de $[D,E]$. Dans les deuxième et troisième parties, ${\cal {C}}$ désignera l'ensemble des points dont les coordonnées barycentriques $(x,y,z)$ dans le repère $(A,D,E)$ vérifient $x^{2}=yz$ (et bien sûr $x+y+z=1$). Ces deuxième et troisième parties sont indépendantes.

Première partie.

1) Montrer que les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. Donner deux autres relations de parallélisme similaires. En déduire que $I$ est le milieu de $(A,F)$.

2) Montrer que $O$ est l'isobarycentre des triangles $(DEF)$ et $(G_{1}G_{2}G_{3})$ (on pourra raisonner directement, ou utiliser l'exercice, question e).

3) Décrire une homothétie $h$ (centre et rapport) envoyant le triangle ordonné $(ADE)$ sur le triangle ordonné $(ABC)$. De même pour les triangles ordonnés $(ADE)$ et $(FED)$, puis pour les triangles ordonnés $(FED)$ et $(G_{1}G_{2}G_{3})$. Est-ce encore possible pour les triangles ordonnés $(ADE)$ et $(BDF)$ ?

Deuxième partie.

Soit $a\in \mathbb {R}$. On note $K_{a}=aE+(1-a)A$ et $L_{a}=aA+(1-a)D$, puis $M_{a}\in (DK_{a})\cap (EL_{a})$.

1) Quel est le point $M_{a}$ dans chacun des cas particuliers $a=0,1,1/2$ ?

2) Justifier que le point $M_{a}$ est bien défini (pour tout $a\in \mathbb {R}$) (indications au choix : on peut par exemple appliquer l'exercice question f, ou encore prouver l'existence et l'unicité de $M_{a}$ au cours de la réponse à la question 3 ci-dessous).

3) Calculer (en fonction de $a$) les coordonnées barycentriques $(x_{a},y_{a},z_{a})$ de $M_{a}$ dans le repère affine $(A,D,E)$.

4) Calculer leurs limites $(x_{\infty },y_{\infty },z_{\infty })$ quand $a\to \pm \infty$. Quel est le point $M_{\infty }$ correspondant ?

5) Pour $a\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$, vérifier que

a) $M_{a}\in {\cal {C}}$,

b) si $y_{a}\neq 1$ alors $a={z_{a} \over 1-y_{a}}$.

c) Donner les deux valeurs de $a\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ pour lesquelles $y_{a}=1$.

6) En déduire que l'application $a\mapsto M_{a}$ est une bijection de $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ dans ${\cal {C}}$.

Troisième partie. (Étude de la courbe ${\cal {C}}$)

1) Soient $(1-y-z,y,z)$ les coordonnées barycentriques d'un point $M$ dans le repère $(A,D,E)$ et $(u,v)$ les coordonnées du vecteur ${\overrightarrow {OM}}$ dans la base $({\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {AE}})$.

a) Exprimer $u,v$ en fonction de $y,z$ (indication : d'après la première partie, ${\overrightarrow {AO}}=2{\overrightarrow {AG_{1}}}$).

b) En déduire qu'il existe une constante $K$ (à déterminer) telle que $M\in {\cal {C}}\Leftrightarrow u^{2}+uv+v^{2}=K$.

2) On suppose dans cette question que le plan ${\cal {E}}$ est muni d'une structure euclidienne pour laquelle le triangle $(ADE)$ est équilatéral, avec $\|{\overrightarrow {AG_{1}}}\|=1$. Calculer $\|u{\overrightarrow {AD}}+v{\overrightarrow {AE}}\|^{2}$ en fonction de $u,v$. En déduire l'interprétation géométrique de ${\cal {C}}$. ${\cal {C}}$ est un objet remarquable pour les triangles $(DEF)$, $(G_{1}G_{2}G_{3})$ et $(ABC)$. Le décrire en ces termes.

3) Démontrer qu'il existe une (unique) structure euclidienne sur ${\cal {E}}$ (c'est-à-dire un unique produit scalaire sur le plan vectoriel associé) pour laquelle les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.

4) On note $\varphi$ la structure euclidienne particulière précédente, et $\psi$ une structure euclidienne quelconque. On rappelle qu'il existe une base $(i,j)$ orthonormée pour $\psi$ et des constantes $a,b>0$ telles que $(ai,bj)$ soit orthonormée pour $\varphi$. Pour une telle base, donner l'équation de ${\cal {C}}$ dans le repère $(O,i,j)$. En déduire l'interprétation géométrique de ${\cal {C}}$ dans le plan affine euclidien $({\cal {E}},\psi )$.

Solution

Première partie.

1) L'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $2$ envoie $(ADE)$ sur $(ABC)$ donc ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {h}}({\overrightarrow {DE}})=2{\overrightarrow {DE}}$ donc $(BC)//(DE)$. De même, $(AC)//(DF)$ et $(AB)//(EF)$. En particulier, $(ADFE)$ est un parallélogramme donc le milieu de $(A,F)$ est $I$.

2) Appliquons l'exercice avec $(P,Q,R,G)=(A,B,C,O)$ : $f$ envoie $(DEF)$ sur $(FDE)$ donc (question e) l'isobarycentre de $(DEF)$ est $O$. D'autre part $f$ envoie $(ADE)$ sur $(BFD)$ (donc $G_{1}$ sur $G_{2}$), $(BFD)$ sur $(CEF)$ (donc $G_{2}$ sur $G_{3}$), et $(CEF)$ sur $(ADE)$ (donc $G_{3}$ sur $G_{1}$) donc (question e) l'isobarycentre de $(G_{1}G_{2}G_{3})$ est encore $O$.

3) Pour $h$, cf. question 1. D'après cette même question, l'homothétie $s$ de centre $I$ et de rapport $-1$ échange non seulement $E$ avec $D$ mais aussi $A$ avec $F$, donc échange $(ADE)$ avec $(FED)$. Puisque $h(G_{1})=O$, on a ${\overrightarrow {OG_{1}}}={1 \over 2}{\overrightarrow {OA}}$, donc l'homothétie $h'$ de centre $O$ et de rapport $1/2$ envoie $A$ sur $G_{1}$. De même, $h'(B)=G_{2}$ et $h'(C)=G_{3}$. Donc $h'\circ h\circ s$ envoie $(FED)$ sur $(G_{1}G_{2}G_{3})$. D'après la question 2, elle fixe $O$. C'est donc l'homothétie de centre $O$ et de rapport ${1 \over 2}2(-1)=-1$. Par contre, l'unique application affine qui envoie $(ADE)$ sur $(BDF)$ n'est pas une homothétie (ni une translation) puisque (par exemple) $(DE)$ n'est pas parallèle à $(DF)$. (En fait cette application est la symétrie par rapport à $(CD)$, parallèlement à $(AB)$).

Deuxième partie.

1) $M_{0}=D$, $M_{1}=E$, $M_{1/2}=G_{1}$.

2) Appliquons l'exercice à $(P,Q,R)=(A,D,E)$ et ${\cal {D}}=(DK_{a})$ : ${\cal {D}}$ est sécante à $f(D)=(EL_{a})$.

3) Un point appartient à $(DK_{a})$ si et seulement si ses coordonnées barycentriques $(x,y,z)$ dans $(A,D,E)$ vérifient $ax=(1-a)z$ et à $(EL_{a})$ si et seulement si $ay=(1-a)x$. En remplaçant par exemple $y$ par $1-x-z$ on en déduit le système de deux équations à deux inconnues $ax+(a-1)z=0,x+az=a$, dont la solution (unique) est $x_{a}={a(1-a) \over a^{2}-a+1},z_{a}={a^{2} \over a^{2}-a+1}$, d'où $y_{a}=1-x_{a}-z_{a}={(1-a)^{2} \over a^{2}-a+1}$. (On retrouve en particulier les réponses aux deux questions précédentes.)

4) $(x_{\infty },y_{\infty },z_{\infty })=(-1,1,1)$ donc $M_{\infty }=E+{\overrightarrow {AD}}=F$.

5)

a) On vérifie que $x_{a}^{2}=y_{a}z_{a}$ (dans les deux cas $a\in \mathbb {R}$ et $a=\infty$).

b) Si $y_{a}\neq 1$ (ce qui implique $a\neq \infty ,0$), on vérifie que ${z_{a} \over 1-y_{a}}={z_{a} \over x_{a}+z_{a}}={a^{2} \over a(1-a)+a^{2}}=a$.

c) $y_{a}=1$ si et seulement si $a=\infty$ ou $a=0$.

6) D'après 5.a, $a\mapsto M_{a}$ est une application de $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ dans ${\cal {C}}$. D'après 5.b (jointe à 5.c et au fait que $M_{0}\neq M_{\infty }$), cette application est injective. Montrons qu'elle est surjective. Soit $M$ de coordonnées barycentriques $(x,y,z)$ dans $(A,D,E)$, avec $x^{2}=yz$. Si $y=1$ alors $(1-y-z)^{2}=yz$ devient $z^{2}=z$, donc $z=0$ ou $1$, donc $M=M_{0}$ ou $M_{\infty }$. Si $y\neq 1$, posons $a={z \over 1-y}$. Alors $1-a={x \over 1-y}$, d'où $ax=(1-a)z$ et $ay=(1-a)x$, donc (cf. question 2) $M=M_{a}$.

Troisième partie.

1)

a) ${\overrightarrow {AM}}=y{\overrightarrow {AD}}+z{\overrightarrow {AE}}$ et ${\overrightarrow {AO}}=2{\overrightarrow {AG_{1}}}={2 \over 3}({\overrightarrow {AD}}+{\overrightarrow {AE}})$ donc $(u,v)=(y-2/3,z-2/3)$.

b) $(1-y-z)^{2}=yz\Leftrightarrow y^{2}+z^{2}+yz-2y-2z+1=0$, or $u^{2}+uv+v^{2}=y^{2}+z^{2}+yz-2y-2z+4/3$. Donc $M\in \mathbb {C} \Leftrightarrow u^{2}+uv+v^{2}=1/3$.

2) On a $\|{\overrightarrow {AD}}\|^{2}=\|{\overrightarrow {AD}}\|^{2}=2\langle {\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {AE}}\rangle =3$ donc $\|u{\overrightarrow {AD}}+v{\overrightarrow {AE}}\|^{2}=3(u^{2}+uv+v^{2})$, donc ${\cal {C}}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. C'est le cercle circonscrit à $(DEF)$ et $(G_{1}G_{2}G_{3})$ et inscrit dans $(ABC)$.

3) Un produit scalaire est déterminé de façon unique par sa matrice (symétrique définie positive) dans la base $({\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {AE}})$, autrement dit par la donnée de $a=\|{\overrightarrow {AD}}\|^{2}$, $b=\|{\overrightarrow {AE}}\|$, $c=\langle {\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {AE}}\rangle$ tels que $c^{2}<ab$. Les hypothèses de la question 2 correspondent à $(a,b,c)=(3,3,3/2)$.

4) Soient $(X,Y)$ les coordonnées de $M$ dans $(O,i,j)$, alors ses coordonnées dans $(O,ai,bj)$ sont $(X/a,Y/b)$ donc $M\in {\cal {C}}\Leftrightarrow {X^{2} \over a^{2}}+{Y^{2} \over b^{2}}=1$. Donc dans $(E,\psi )$, ${\cal {C}}$ est une ellipse de centre $O$ et d'axes dirigés par $i$ et $j$. On peut remarquer de plus qu'elle est tangente à $(AB),(AC),(BC)$ en $D,E,F$, ce qui suffit amplement à la déterminer complètement.