Fraction/Exercices/Sujet de brevet

**Sujet de brevet**
Leçon : Fraction

Page d'exercices n^o 2

Exercices de niveau 8.
Exo préc. :	Exercices simples
Exo suiv. :	Sommaire

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Sujet de brevet
Fraction/Exercices/Sujet de brevet », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 1

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (2000).

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible :

$A = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \times (3 + \frac{1}{2})$

Solution

A = $\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \times (3 + \frac{1}{2})$

= $\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \times (\frac{6}{2} + \frac{1}{2})$

= $\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \times (\frac{6 + 1}{2})$

= $\frac{4}{3} - \frac{1}{3} \times \frac{7}{2}$

= $\frac{4}{3} - \frac{7}{6}$

= $\frac{8}{6} - \frac{7}{6}$

= $\frac{1}{6}$

Exercice 2

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (2001).

Donner ces résultats sous forme de fractions irréductibles :

$A = {(\frac{5}{7})}^{2} - \frac{2}{7}$

Solution

$A = {(\frac{5}{7})}^{2} - \frac{2}{7}$

= $(\frac{25}{49}) - \frac{2}{7}$

= $(\frac{25}{49}) - \frac{2 \times 7}{7 \times 7}$

= $\frac{25}{49} - \frac{14}{49}$

= $\frac{25 - 14}{49}$

= $\frac{11}{49}$

$B = \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

Solution

$B = \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

$= \frac{1 \times 12}{9 \times 12} + \frac{1 \times 9}{12 \times 9}$

$= \frac{12}{108} + \frac{9}{108}$

$= \frac{12 + 9}{108}$

$= \frac{7 * 3}{36 * 3}$

$= \frac{7}{36}$

En électricité, pour calculer des valeurs de résistances, on utilise la formule: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

Sachant que $R_{1}$ =9 ohms et $R_{2}$ = 12 ohms, déterminer la valeur exacte de R.

Solution

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$

= $\frac{1}{R} = \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$

= $\frac{1}{R} = \frac{21}{108}$

$R = \frac{36}{7} o h m s$

Exercice 3

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (2000).

Mettre sous la forme de fraction irréductible $\frac{\frac{11}{3} - 7}{\frac{25}{6}}$

Solution

$\frac{\frac{11}{3} - 7}{\frac{25}{6}}$

= $\frac{\frac{11 \times 2}{3 \times 2} - \frac{7 \times 6}{6}}{\frac{25}{6}}$

= $\frac{\frac{22}{6} - \frac{42}{6}}{\frac{25}{6}}$

= $\frac{22 - 42}{25}$

= $- \frac{20}{25}$

= $- \frac{4}{5}$

Mettre sous la forme de fraction irréductible $\frac{3}{7} - \frac{2}{5} \times \frac{15}{4}$

Solution

$\frac{3}{7} - \frac{2}{5} \times \frac{15}{4}$

= $\frac{3}{7} - \frac{2 \times 15}{5 \times 4}$

= $\frac{3 \times 20}{7 \times 20} - \frac{2 \times 15 \times 7}{5 \times 4 \times 7}$

= $\frac{60}{140} - \frac{210}{140}$

= $\frac{60 - 210}{140}$

= $- \frac{150}{140}$

= $- \frac{15}{14}$

Exercice 4

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (2000).

calculer $A = (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) \div \frac{2}{5}$

Solution

$A = (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) \div \frac{2}{5}$

= $(\frac{1 \times 5}{3 \times 5} - \frac{1 \times 3}{5 \times 3}) \div \frac{2}{5}$

= $(\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) \div \frac{2}{5}$

= $\frac{5 - 3}{15} \div \frac{2}{5}$

= $\frac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}}$

= $\frac{2}{15} \times \frac{5}{2}$

= $\frac{2 \times 5}{15 \times 2}$

= $\frac{10}{30}$

= $\frac{1}{3}$

Exercice 5

Calculer $((- 4 + 3) \times \frac{2}{7}) \div \frac{3}{14}$

Solution

$((- 4 + 3) \times \frac{2}{7}) \div \frac{3}{14}$

= $(- 1 \times \frac{2}{7}) \div \frac{3}{14}$

= $(- \frac{2}{7}) \div \frac{3}{14}$

= $- \frac{2}{7} \times \frac{14}{3}$

= $- \frac{2 \times 14}{7 \times 3}$

= $- \frac{2 \times 2 \times 7}{7 \times 3}$

= $- \frac{2 \times 2}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

Calculer $\frac{4 - {(2 - 5)}^{2}}{4 + 5}$

Solution

$\frac{4 - {(2 - 5)}^{2}}{4 + 5}$

= $\frac{4 - {(- 3)}^{2}}{9}$

= $\frac{4 - 9}{9}$

= $\frac{- 5}{9}$

Exercice 6

Calculer $3 - 3 \div \frac{9}{2}$

Solution

$3 - 3 \div \frac{9}{2}$

= $3 - 3 \times \frac{2}{9}$

= $3 - \frac{3 \times 2}{9}$

= $3 - \frac{2}{3}$

= $\frac{9}{3} - \frac{2}{3}$

= $\frac{9 - 2}{3}$

= $\frac{7}{3}$

Exercice 7

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Calculer $A = \frac{7}{18} \times \frac{2}{7} - {(\frac{5}{3} - 1)}^{2}$

Solution

$A = \frac{7}{18} \times \frac{2}{7} - {(\frac{5}{3} - 1)}^{2}$

= $\frac{7 \times 2}{18 \times 7} - {(\frac{5}{3} - \frac{3}{3})}^{2}$

= $\frac{2}{18} - {(\frac{5 - 3}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9} - (\frac{4}{9})$

= $- \frac{3}{9}$

= $- \frac{1}{3}$

Exercice 8

$A = \frac{5}{7} - \frac{2}{7} \times \frac{4}{3}$

Solution

$A = \frac{5}{7} - \frac{2}{7} \times \frac{4}{3}$

= $\frac{5 \times 3}{7 \times 3} - \frac{2 \times 4}{7 \times 3}$

= $\frac{15}{21} - \frac{8}{21}$

= $\frac{15 - 8}{21}$

= $\frac{7}{21}$

= $\frac{1}{3}$

$B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times \frac{3}{2} + 1$

Solution

$B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times \frac{3}{2} + 1$

= $(\frac{3}{6} - \frac{2}{6}) \times \frac{3}{2} + 1$

= $(\frac{1}{6}) \times \frac{3}{2} + 1$

= $\frac{3}{12} + 1$

= $\frac{15}{12}$

= $\frac{5}{4}$

Exercice 9

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

$A = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \times \frac{3}{10}$

Solution

$A = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \times \frac{3}{10}$

= $\frac{3}{2} - \frac{15}{20}$

= $\frac{30}{20} - \frac{15}{20}$

= $\frac{15}{20}$

= $\frac{3}{4}$

$B = {(\frac{3}{5})}^{2} \div \frac{9}{20}$

Solution

$B = {(\frac{3}{5})}^{2} \div \frac{9}{20}$

= $(\frac{9}{25}) \times \frac{20}{9}$

= $\frac{20}{25}$

= $\frac{4}{5}$

Exercice 10

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

On pose $A = 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})$

En faisant apparaître les étapes de calcul, donner une écriture fractionnaire et une écriture décimale du nombre A.

Solution

$A = 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})$

$= 4 - \frac{3}{4} (\frac{2}{6} - \frac{1}{6})$

$= 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{6})$

$= 4 - \frac{3}{24}$

$= 4 - \frac{1}{8}$

$= \frac{32}{8} - \frac{1}{8}$

$= \frac{31}{8}$

$= 3, 875$

On retire une petite partie de 4, donc on sait que le résultat est relativement proche de 4 au final.

Exercice 11

Donner la valeur exacte la plus simple possible en indiquant le détail des calculs :

$\frac{34}{5} \div (\frac{4}{5} - \frac{3}{8})$

Solution

$= \frac{34}{5} \div (\frac{4}{5} \times \frac{8}{8} - \frac{3}{8} \times \frac{5}{5})$

$= \frac{34}{5} \div (\frac{32 - 15}{5 \times 8})$

$= \frac{34}{5} \div (\frac{17}{5 \times 8})$

$= \frac{34}{5} \times (\frac{5 \times 8}{17})$

$= \frac{17 \times 2}{5} \times (\frac{5 \times 8}{17})$

$= 2 \times 8 = 16$

$\frac{24 \times 1 0^{- 2} \times 3, 5 \times 1 0^{5}}{8 \times 1 0^{- 1} \times 21 \times 1 0^{4}}$

Solution

$= \frac{24 \times 3, 5}{8 \times 21} \times \frac{1 0^{- 2} \times 1 0^{5}}{1 0^{- 1} \times 1 0^{4}}$

$= \frac{8 \times 3 \times 3, 5}{8 \times 3 \times 7} \times \frac{1 0^{3}}{1 0^{3}}$

$= \frac{3, 5}{7}$

$= \frac{1}{2}$

Exercice 12

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1995).

On considère les nombres :

$A = \frac{6}{7} - \frac{4}{7} \times \frac{5}{2}$
$B = \frac{\frac{3}{4} - 4}{\frac{3}{4} + \frac{1}{3}}$
$C = 3^{2} \times 2 - 125 \times 1 0^{- 1}$

En précisant les différentes étapes des calculs

a) Écrire A sous la forme la plus simple possible et sans utiliser de valeur approchée

Solution

$A = \frac{6}{7} - \frac{4}{7} \times \frac{5}{2}$

$A = \frac{6}{7} - \frac{4 \times 5}{7 \times 2}$

$A = \frac{6}{7} - \frac{20}{14}$

$A = \frac{12}{14} - \frac{20}{14}$

$A = \frac{12 - 20}{14}$

$A = \frac{- 8}{14}$

$A = \frac{- 4}{7}$

b) Écrire B sous la forme d'une nombre entier relatif

Solution

$B = \frac{\frac{3}{4} - 4}{\frac{3}{4} + \frac{1}{3}}$
$B = \frac{\frac{3}{4} - \frac{16}{4}}{\frac{9}{12} + \frac{4}{12}}$
$B = \frac{\frac{3 - 16}{4}}{\frac{9 + 4}{12}}$
$B = \frac{\frac{- 13}{4}}{\frac{13}{12}}$
$B = \frac{- 13}{4} \times \frac{12}{13}$
$B = - \frac{12}{4}$
$B = - 3$

c) Écrire C sous la forme d'un nombre décimal

Solution

$C = 3^{2} \times 2 - 125 \times 1 0^{- 1}$
$C = 9 \times 2 - 12, 5$
$C = 18 - 12, 5$
$C = 5, 5$

Exercice 13

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1995).

Sachant que $a = \frac{2}{3}$ , $b = - \frac{1}{4}$ , $c = \frac{2}{5}$ et $d = - \frac{1}{2}$ ,

a) Calculer $A = a b + c d$

Solution

$A = a b + c d$

$A = \frac{2}{3} \times \frac{- 1}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{- 1}{2}$

$A = \frac{- 2}{12} + \frac{- 2}{10}$

$A = \frac{- 10}{60} + \frac{- 12}{60}$

$A = \frac{- 22}{60}$

$A = \frac{- 11}{30}$

b) Calculer $B = \frac{a + d}{b + c}$

Solution

$B = \frac{a + d}{b + c}$

$B = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{- \frac{1}{4} + \frac{2}{5}}$

$B = \frac{\frac{4}{6} - \frac{3}{6}}{\frac{- 5}{20} + \frac{8}{20}}$

$B = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{20}}$

$B = \frac{1 \times 20}{6 \times 3}$

$B = \frac{20}{18}$

$B = \frac{10}{9}$

Exercice 14

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1995).

Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi simple que possible

$A = \frac{3}{4} - \frac{5}{6} \times \frac{3}{2}$

Solution

$A = \frac{3}{4} - \frac{5}{6} \times \frac{3}{2}$

$A = \frac{3}{4} - \frac{5 \times 3}{6 \times 2}$

$A = \frac{3}{4} - \frac{15}{12}$

$A = \frac{9}{12} - \frac{15}{12}$

$A = \frac{9 - 15}{12}$

$A = \frac{- 6}{12}$

$A = - \frac{1}{2}$

Exercice 15

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (2002).

Calculer :

$\frac{4}{5} - 2 \times \frac{6}{5}$

Solution

$\frac{4}{5} - 2 \times \frac{6}{5}$

$\frac{4}{5} - \frac{12}{5}$

$\frac{4 - 12}{5}$

$\frac{- 8}{5}$

Exercice 16

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Mettre sous la forme la plus simple le nombre $\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{30}$

Solution

$\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{30}$

$= \frac{4 \times 2}{5 \times 3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{30}$

$= \frac{8}{15} + \frac{1}{2} - \frac{1}{30}$

$= \frac{16}{30} + \frac{1}{2} - \frac{1}{30}$

$= \frac{16}{30} + \frac{15}{30} - \frac{1}{30}$

$= \frac{16 + 15 - 1}{30}$

$= \frac{30}{30}$

$= 1$

Exercice 17

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Écrire le résultat sous la forme la plus simple $A = \frac{5}{7} - \frac{2}{7} \times \frac{4}{3}$

Solution

$A = \frac{5}{7} - \frac{2}{7} \times \frac{4}{3}$

$A = \frac{5}{7} - \frac{2 \times 4}{7 \times 3}$

$A = \frac{5}{7} - \frac{8}{21}$

$A = \frac{15}{21} - \frac{8}{21}$

$A = \frac{15 - 8}{21}$

$A = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

$B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \div \frac{2}{3} + 1$

Solution

$B = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \div \frac{2}{3} + 1$

$B = (\frac{3}{6} - \frac{2}{6}) \div \frac{2}{3} + 1$

$B = (\frac{3 - 2}{6}) \div \frac{2}{3} + 1$

$B = (\frac{1}{6}) \div \frac{2}{3} + 1$

$B = \frac{1}{6} \div \frac{2}{3} + 1$

$B = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} + 1$

$B = \frac{1 \times 3}{6 \times 2} + 1$

$B = \frac{3}{12} + 1$

$B = \frac{3}{12} + \frac{12}{12}$

$B = \frac{3 + 12}{12}$

$B = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

Exercice 18

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Calculer A et B. On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible $A = \frac{1}{3} \times 4 + \frac{7}{6}$

Solution

$A = \frac{1}{3} \times 4 + \frac{7}{6}$

$A = \frac{1 \times 4}{3} + \frac{7}{6}$

$A = \frac{4}{3} + \frac{7}{6}$

$A = \frac{8}{6} + \frac{7}{6}$

$A = \frac{8 + 7}{6}$

$A = \frac{15}{6}$

$B = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} - \frac{2}{1 - \frac{2}{7}}$

Solution

$B = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} - \frac{2}{1 - \frac{2}{7}}$

$B = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} - \frac{2}{1 - \frac{2}{7}}$

$B = \frac{6}{20} - \frac{2}{1 - \frac{2}{7}}$

$B = \frac{6}{20} - \frac{2}{\frac{7}{7} - \frac{2}{7}}$

$B = \frac{6}{20} - \frac{2}{\frac{7 - 2}{7}}$

$B = \frac{6}{20} - \frac{2}{\frac{5}{7}}$

$B = \frac{6}{20} - 2 \times \frac{7}{5}$

$B = \frac{6}{20} - \frac{2 \times 7}{5}$

$B = \frac{6}{20} - \frac{14}{5}$

$B = \frac{3}{10} - \frac{28}{10}$

$B = \frac{3 - 28}{10}$

$B = \frac{- 25}{10}$

$B = \frac{- 5}{2}$

Exercice 19

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.

Que faut-il ajouter à $\frac{3}{7}$ pour obtenir 2 ?

Solution

$x + \frac{3}{7} = 2$

$x = 2 - \frac{3}{7}$

$x = \frac{14}{7} - \frac{3}{7}$

$x = \frac{14 - 3}{7}$

$x = \frac{11}{7}$

Que faut-il ajouter à $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ pour obtenir 1 ?

Solution

$x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 1$

$x = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$

$x = \frac{12}{12} - \frac{6}{12} - \frac{3}{12} - \frac{2}{12}$

$x = \frac{12 - 6 - 3 - 2}{12}$

$x = \frac{1}{12}$

À un nombre, j'ajoute $\frac{7}{5}$ ; je multiplie le résultat obtenu par $\frac{3}{11}$ et j’obtiens 1. Quel est ce nombre ?

Solution

$(x + \frac{7}{5}) \times \frac{3}{11} = 1$

$(x + \frac{7}{5}) = 1 \div \frac{3}{11}$

$(x + \frac{7}{5}) = 1 \times \frac{11}{3}$

$(x + \frac{7}{5}) = \frac{3}{3} \times \frac{11}{3}$

$(x + \frac{7}{5}) = \frac{3 \times 11}{3 \times 3}$

$(x + \frac{7}{5}) = \frac{33}{9}$

$x + \frac{7}{5} = \frac{33}{9}$

$x = \frac{33}{9} - \frac{7}{5}$

$x = \frac{33 \times 5}{9 \times 5} - \frac{7 \times 9}{5 \times 9}$

$x = \frac{165}{45} - \frac{63}{45}$

$x = \frac{165 - 63}{45}$

$x = \frac{102}{45}$

$x = \frac{34}{15}$

Exercice 20

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Calculer puis simplifier $A = \frac{13}{14} - \frac{1}{15} \times \frac{10}{7}$

Solution

$A = \frac{13}{14} - \frac{1}{15} \times \frac{10}{7}$

$A = \frac{13}{14} - \frac{1 \times 10}{15 \times 7}$

$A = \frac{13}{14} - \frac{10}{105}$

$A = \frac{13}{14} - \frac{2}{21}$

$A = \frac{13 \times 21}{14 \times 21} - \frac{2 \times 14}{21 \times 14}$

$A = \frac{273}{294} - \frac{28}{294}$

$A = \frac{273 - 28}{294}$

$A = \frac{245}{294}$

$A = \frac{35}{42}$

Exercice 21

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au brevet des collèges (1996).

Calculer et mettre le résultat sous la forme de fraction irréductible

$A = \frac{3}{14} + \frac{5}{21}$

Solution

$A = \frac{3}{14} + \frac{5}{21}$

$A = \frac{18}{84} + \frac{20}{84}$

$A = \frac{18 + 20}{84}$

$A = \frac{38}{84}$

$A = \frac{19}{42}$

$B = \frac{2}{3} - \frac{7}{3} \times \frac{9}{34}$

Solution

$B = \frac{2}{3} - \frac{7}{3} \times \frac{9}{34}$

$B = \frac{2}{3} - \frac{7 \times 9}{3 \times 34}$

$B = \frac{2}{3} - \frac{63}{102}$

$B = \frac{68}{102} - \frac{63}{102}$

$B = \frac{68 - 63}{102}$

$B = \frac{5}{102}$

$C = \frac{2^{3}}{3^{2}} \div \frac{2^{4}}{3}$

Solution

$C = \frac{2^{3}}{3^{2}} \div \frac{2^{4}}{3}$

$C = \frac{2^{3}}{3^{2}} \times \frac{3}{2^{4}}$

$C = \frac{2^{3}}{2^{4}} \times \frac{3}{3^{2}}$

$C = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{2 \times 3}$

$C = \frac{1}{6}$

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