Fraction/Division

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Inverse d’une fraction

Exemple : Calculer $\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}$

Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit est égal à 1.

$\frac{2}{3}$ est donc l'inverse de $\frac{3}{2}$

$\frac{3}{2}$ est donc l'inverse de $\frac{2}{3}$

Pour trouver l'inverse d’une fraction, il suffit donc d'échanger son numérateur et son dénominateur.

Début d’un théorème

Théorème : inverse d’une fraction

L'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ est la fraction $\frac{b}{a}$

Fin du théorème

Division de fractions

L'inverse de 4 est $\frac{1}{4}$

Calculons :

$3\times \frac{1}{4}=\frac{3\times 1}{4}=\frac{3}{4}$

Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse

Début d’un théorème

Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse

$\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}$

Fin du théorème

Exercice: division de deux fractions

Calculer sous forme de fraction en appliquant le théorème :

$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{8}}$

Solution

$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{8}}=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}=\frac{4\times 8}{5\times 7}=\frac{32}{35}$

 

Que penser de la règle : diviser deux fractions entre elles revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ?

Il suffit pour cela d'écrire cette opération : $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}$
Or, on sait que diviser par un nombre (s'il est non nul), revient à multiplier par son inverse. On peut donc écrire : $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$, puis :
$\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$.

Enfin, comme $a\times b=b\times a$, on a :
$\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{c}\times \frac{d}{b}$, ou $\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{c}\times \frac{1}{\frac{b}{d}}$

Cette règle est donc vérifiée (vraie).