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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fraction : Division Fraction/Division », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exemple : Calculer
2
3
×
3
2
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}}
Solution
2
3
×
3
2
=
2
×
3
3
×
2
=
⧸
2
×
3
3
×
⧸
2
=
3
3
=
1
{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {2\times 3}{3\times 2}}={\frac {\not 2\times 3}{3\times \not 2}}={\frac {3}{3}}=1}
Définition
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit est égal à 1.
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
est donc l'inverse de
3
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {3}{2}}}
est donc l'inverse de
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
Pour trouver l'inverse d’une fraction, il suffit donc d'échanger son numérateur et son dénominateur.
Début d’un théorème
Théorème : inverse d’une fraction
L'inverse de la fraction
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
est la fraction
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a}}}
Fin du théorème
L'inverse de 4 est
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
Calculons :
3
×
1
4
=
3
×
1
4
=
3
4
{\displaystyle 3\times {\frac {1}{4}}={\frac {3\times 1}{4}}={\frac {3}{4}}}
Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse [ modifier | modifier le wikicode ]
Début d’un théorème
Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
a
b
=
a
×
1
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
Fin du théorème
Calculer sous forme de fraction en appliquant le théorème :
4
5
7
8
{\displaystyle {\frac {4}{5}} \over {\frac {7}{8}}}
Solution
4
5
7
8
=
4
5
×
8
7
=
4
×
8
5
×
7
=
32
35
{\displaystyle {\frac {\frac {4}{5}}{\frac {7}{8}}}={\frac {4}{5}}\times {\frac {8}{7}}={\frac {4\times 8}{5\times 7}}={\frac {32}{35}}}
Que penser de la règle : diviser deux fractions entre elles revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ? [ modifier | modifier le wikicode ]
Il suffit pour cela d'écrire cette opération :
a
b
/
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}}
Or, on sait que diviser par un nombre (s'il est non nul), revient à multiplier par son inverse. On peut donc écrire :
a
b
/
c
d
=
a
b
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}}
, puis :
a
b
/
c
d
=
a
b
×
d
c
=
a
×
d
b
×
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {a\times d}{b\times c}}}
.
Enfin, comme
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
, on a :
a
b
/
c
d
=
a
c
×
d
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{c}}\times {\frac {d}{b}}}
, ou
a
b
/
c
d
=
a
c
×
1
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{c}}\times {\frac {1}{\frac {b}{d}}}}
Cette règle est donc vérifiée (vraie).