Fonctions trigonométriques/Exercices/Problèmes divers
Exercice 11-1
[modifier | modifier le wikicode]1° Étudier la variation de la fonction définie par :
- .
2° En déduire le nombre des solutions de l'équation définie dans par .
3° On considère la suite définie par :
- et .
- Montrer que , puis majorer par une expression de la forme avec .
- En déduire que la suite converge vers la solution de l'équation définie au 2°.
4° Donner un encadrement de cette solution.
5° Interpréter graphiquement la formation de la suite en utilisant les courbes d'équations respectives et .
6° Donner une valeur approchée à 10–2 près de la solution de l'équation définie au 2°.
1° et . est négative et ne s'annule que pour donc est strictement décroissante.
2° s'annule au moins une fois (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) et une seule (puisqu'elle est injective).
3° donc reste dans . D'après le théorème des accroissements finis, pour . Par conséquent, converge et sa limite vérifie .
4° .
5° On trace de proche en proche les segments suivants. La droite coupe le graphe de au point . La droite coupe la droite au point . La droite coupe le graphe de au point , etc. On voit se dessiner un « escargot anguleux » et est alternativement inférieur et supérieur à sa limite.
6° et donc .
Exercice 11-2
[modifier | modifier le wikicode]On donne :
1° Calculer . En déduire l'ensemble des solutions de l'équation définie dans par :
- .
2° Calculer . En déduire l'ensemble des solutions de l’équation définie dans par :
- .
1° et . L'ensemble des solutions de est donc .
2° . L'ensemble des solutions de est donc .
Exercice 11-3
[modifier | modifier le wikicode]Soient définis par
Prouvez que .
donc .