Leçons de niveau 15

Fonction génératrice/Fonction génératrice d'une famille de polynômes

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Fonction génératrice d'une famille de polynômes
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Chapitre no 7
Leçon : Fonction génératrice
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Fonction génératrice/Fonction génératrice d'une famille de polynômes
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Définition de la fonction génératrice des polynômes.[modifier | modifier le wikicode]

On peut définir des fonctions génératrices pour les familles de polynômes.


Dans les paragraphes suivants, nous allons étudier quelques exemples.


Polynôme de Tchebytchev de première espèce.[modifier | modifier le wikicode]

Ils sont définis par :

On a alors :

Polynôme de Tchebytchev de seconde espèce.[modifier | modifier le wikicode]

Ils sont définis par :

On a alors :

Polynôme de Laguerre.[modifier | modifier le wikicode]

Ils sont définis par :

Ou plus simplement par :

On a alors :

Polynôme d’Hermite.[modifier | modifier le wikicode]

Ils sont définis par : Ou plus simplement par .

Ou plus simplement par :

On a alors :

Polynôme de Legendre.[modifier | modifier le wikicode]

Ils sont définis par :

Ou plus simplement par :

On a alors :

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

D'après le théorème des résidus: est un cercle de centre O et de rayon 1 avec |x|<1

donc:

Etudions maintenant les conditions de convergence de

Soit un réel non nul. Etudions la convergence de

Comme
et:
si
Dans ces conditions nous sommes en présence d'une série géométrique convergente:
Déterminons les racines en z du dénominateur:
Si est croissante:
Si est décroissante:
est donc toujours défini. Le dénominateur est alors:
en notant: et sans oublier:

Il faut maintenant déterminer si les pôles a et b sont situés à l'intérieur du cercle unité:
♦ Etudions:
est donc croissante ainsi que :

a(x) est donc en dehors du cercle unité.

♦ Etudions

b(x) est donc croissante ainsi que :

b(x) est donc à l'intérieur du cercle unité. D'après le théorème des résidus, il vient alors: