Fonction génératrice/Annexe/Tableau récapitulatif des principales lois

Loi	Notation	X(Ω)	p(X=k)	Fonction génératrice	E(X)	V(X)
Loi uniforme Est utilisé dans une épreuve où n évènements peuvent se produire de façon équiprobable	$X\longrightarrow {\mathcal {U}}([\![1;n]\!])$	$[\![1;n]\!]$	${\frac {1}{n}}$	${\frac {t}{n}}{\frac {1-t^{n}}{1-t}}{\text{ si }}t\neq 1$ $1{\text{ si }}t=1$	${\frac {n+1}{2}}$	${\frac {n^{2}-1}{12}}$
Loi de Bernoulli Dans une épreuve à deux issues contraires, prend la valeur 1 si l’une des deux alternatives de probabilité p, considéré comme un succès, sort et prend la valeur 0 sinon.	$X\longrightarrow {\mathcal {B}}(1,p)$	$\{0;1\}$	$p(X=1)=p$ $p(X=0)=1-p$	$pt+1-p$	$p$	$p(1-p)$
Loi binomiale Donne, dans une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre de succès réalisés	$X\longrightarrow {\mathcal {B}}(n,p)$	$[\![0;n]\!]$	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$	$(pt+1-p)^{n}$	$np$	$np(1-p)$
Loi géométrique Donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du premier succès	$X\longrightarrow {\mathcal {G}}(p)$	$\mathbb {N} ^{*}$	$(1-p)^{k-1}p$	${\frac {pt}{pt-t+1}}$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {1-p}{p^{2}}}$
Loi hypergéométrique Donne le nombre d’objets d’un type particulier présent dans un ensemble de n objets tirés sans remise parmi N.	$X\longrightarrow {\mathcal {H}}(N,n,p)$	$\subset [\![0;n]\!]$	${\frac {{Np \choose k}{N(1-p) \choose n-k}}{N \choose n}}$	$?$	$np$	${\frac {np(1-p)(N-n)}{N-1}}$
Loi de Poisson Donne le nombre d’événements indépendants apparaissant dans un intervalle de temps ou d’espace. Ces événements apparaissant de façon absolument fortuite.	$X\longrightarrow {\mathcal {P}}(\lambda )$	$\mathbb {N}$	$e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$	$e^{\lambda (t-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
Loi de Pascal Donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du r-ème succès	$X\longrightarrow {\mathcal {P}}(r,p)$	$[\![r;+\infty [\![$	${k-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}$	$\left({\frac {pt}{pt-t+1}}\right)^{r}$	${\frac {r}{p}}$	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$
Loi binomiale négative Donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre d’échecs avant le r-ème succès	$X\longrightarrow {\mathcal {J}}(r,p)$	$\mathbb {N}$	${k+r-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k}$	$\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r}$	${\frac {r(1-p)}{p}}$	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$