Espaces de Banach/Devoir/Diagonalisation d'un opérateur autoadjoint compact
Dans ce problème, est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie sur . On rappelle que :
- les valeurs propres d'un opérateur autoadjoint sont réelles ;
- :
- si est auto-adjoint on a aussi .
Partie I. Soit un opérateur autoadjoint compact sur .
1) a) Montrer que si un sous-espace de est stable par alors son orthogonal l'est aussi.
- b) Montrer que deux espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
2) a) Soit une suite orthonormée. Montrer qu'on ne peut en extraire aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.
- b) Désormais, est une suite orthonormée de vecteurs propres associés à des valeurs propres non nulles (non nécessairement distinctes) . Déduire de la question précédente que (on raisonnera par l'absurde, en remarquant que avec ).
- c) En déduire que tous les sous-espaces propres de sont de dimension finie à l'exception de .
3) Montrer que ou est une valeur propre. (On pensera à la caractérisation de rappelée au début.)
4) a) En déduire que les valeurs propres non nulles forment une suite telle que , que les espaces propres associés sont deux à deux orthogonaux, et que .
- b) Montrer que est la limite (au sens de la norme des opérateurs) des où désigne la projection orthogonale sur .
Partie II. Dans cette partie, . Pour , on pose :
- , puis .
1) Montrer que est un opérateur autoadjoint compact sur et que son image est incluse dans le sous-espace des fonctions continues sur .
2) a) Soit un vecteur propre associé à une valeur propre . Montrer que et .
- b) En déduire que toutes les valeurs propres non nulles de sont données par et qu'une suite orthonormée de vecteurs propres associés est donnée par . Le réel est-il valeur propre ? En déduire que les forment une base hilbertienne de .
- c) Que vaut ?
3) Montrer que , au sens (on pourra remarquer ou admettre que les pour forment une base hilbertienne de )
- Montrer qu'en fait cette égalité est vraie pour tout .
4) En calculant de deux manières, en déduire que .
Partie I. 1) a) Soient un sous-espace de stable par et . Pour tout , on a donc .
- b) Si et avec , alors donc .
2) a) Pour tous distincts, .
- b) Supposons que la suite ne tend pas vers . Alors, la suite positive ne tend pas vers +\infty donc admet une sous-suite bornée. La suite est alors l'image par d'une suite bornée de vecteurs, si bien que (comme est compact) admet une sous-suite convergente. Ceci contredit le résultat de la question précédente donc l'hypothèse était absurde : la suite tend bien vers .
- c) Immédiat.
3) Supposons et montrons que le réel est une valeur propre de . Soit une suite de vecteurs unitaires telle que . Alors, . On peut supposer de plus (par compacité de , quitte à extraire une sous-suite) que converge, vers un certain vecteur . Alors, . Par passage à la limite dans , on en déduit : , donc est bien une valeur propre de . De même, est valeur propre. Or , donc ou est une valeur propre.
4) a) Soient (égale à ) la valeur propre de plus grande valeur absolue et le sous-espace propre associé. Le sous-espace fermé est stable par , et la restriction de à ce sous-espace est encore un opérateur autoadjoint compact, de norme . En itérant, on construit ainsi deux suites et (éventuellement infinies) vérifiant les propriétés voulues.
- b) (ou si les suites s'arrêtent au rang ).
Partie II.
1) est compact par restriction, et autoadjoint parce que est symétrique. Pour toute , est continue par uniforme continuité de .
2) a) De on déduit , puis . Quant aux conditions , elles résultent immédiatement de .
- b) En résolvant l'équation différentielle, on en déduit : avec et . Donc les valeurs propres non nulles de sont et le sous-espace propre associé est la droite engendrée par le vecteur unitaire . Le réel n'est pas valeur propre car (par le même calcul que dans la question précédente). D'après la partie I, les forment donc une base hilbertienne de H.
- c) .
3) , avec donc et les autres sont nuls. Par continuité des deux membres, cette égalité dans est en fait une égalité point par point.
4) On en déduit : . Or par calcul direct, .