Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Ordre des nombres réels

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Opération sur une inégalité

Propriété

On peut ajouter aux deux membres d'une inégalité le même nombre réel pour obtenir une inégalité équivalente de même sens.

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ et $c\in \mathbb {R}$ :

$a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$

Remarque :

• Cette propriété vaut aussi pour une soustraction.
• Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq$.

Propriété

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par le même nombre réel strictement positif pour obtenir une inégalité équivalente de même sens.

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ et c strictement positif :

$a<b\Leftrightarrow a\times c<b\times c$

Remarque :

• Cette propriété vaut aussi pour une division.
• Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq$.

Propriété

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par le même nombre réel strictement négatif pour obtenir une inégalité équivalente de sens contraire.

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ et c strictement négatif :

$a<b\Leftrightarrow a\times c>b\times c$

Remarque :

• Cette propriété vaut aussi pour une division.
• Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq$.

Début de l'exemple

Exemple

Résolution d'une inéquation du premier degré

Considérons l'inéquation $-3x+5\leq 4(I)$

D'après la première propriété,

$(I)\Leftrightarrow$ $-3x+5-5\leq 4-5$

$(I)\Leftrightarrow$ $-3x\leq -1$

D'après la troisième propriété :

$(I)\Leftrightarrow$ $x\geq {\frac {-1}{-3}}$

$(I)\Leftrightarrow$ $x\geq {\frac {1}{3}}$

donc $S=[{\frac {1}{3}};+\infty [$

Fin de l'exemple

Opérations sur deux inégalités

Propriété

On peut ajouter deux inégalités de même sens pour obtenir une inégalité de même sens.

Soient $a,b,c,d\in \mathbb {R}$

$a<b$ et $c<d$ $\Rightarrow a+c<b+d$

Début de l'exemple

Exemple

Si a et b appartiennent à $]{\frac {3}{2}};+\infty [$, montrons qu'alors $a+b-3>0$.

On a :

$a>{\frac {3}{2}}$ et $b>{\frac {3}{2}}$

donc d’après la quatrième propriété :

$a+b>3$

et d’après la première propriété

$a+b-3>0$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

Si $a\in [-2;+\infty [$ et $b\in [3;+\infty [$, montrer qu'alors $2a+5b\geq 11$.

Fin de l'exemple

Remarque :

• Cette propriété vaut aussi pour une inégalité large $\leq$.
• Cette propriété ne vaut pas pour une soustraction.

Début de l'exemple

Exemple

Si a et b appartiennent à $]{\frac {3}{2}};+\infty [$, peut-on affirmer qu'alors $a-b-3>0$ $?$

Fin de l'exemple