Dynamique des fluides compressibles/Vitesse du son

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Équations d'onde, vitesse du son

L'écoulement est supposé irrotationnel et parfait, et on traite les champs comme des perturbations de l'état stationnaire uniforme :

$P({\vec {r}},t)=P_{0}+p({\vec {r}},t)$

$\mu ({\vec {r}},t)=\mu _{0}+\delta \mu ({\vec {r}},t)$

$p({\vec {r}},t)$, $\delta \mu ({\vec {r}},t)$ et ${\vec {v}}({\vec {r}},t)$ sont des infiniment petits du premier ordre.

Les équations décrivant un tel écoulement sont :

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {\nabla }}p~~~~~~;~~~~~~{\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {1}{\chi _{T}}}\mathrm {div} {\vec {v}}$

(où $\chi _{T}~$ est le coefficient de compressibilité isotherme.)

D'où l’on tire les équations d'onde :

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{\mu _{0}\chi _{T}}}\Delta p=0~~~~~~;~~~~~~{\frac {\partial ^{2}{\vec {v}}}{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{\mu _{0}\chi _{T}}}\Delta {\vec {v}}=0$

(en utilisant ${\overrightarrow {\rm {rot}}}~{\vec {v}}={\vec {0}}$ ).

On en déduit la vitesse du son :

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\chi _{T}}}}$

Démonstration

Pour la première équation, on part de l'équation d'Euler (on néglige la viscosité et la gravité) : ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}=-{\frac {1}{\mu }}{\vec {\nabla }}p$

Au premier ordre, $({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {v}}$ est négligé devant ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}$, et on a ${\frac {1}{\mu }}{\vec {\nabla }}p={\frac {1}{\mu _{0}}}(1-{\frac {\delta \mu }{\mu _{0}}}+...){\vec {\nabla }}p\approx {\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {\nabla }}p$. On en déduit l'équation utilisée, dite équation d'Euler linéarisée.

L'autre relation est issue de la définition du coefficient de compressibilité isotherme :

$\chi _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}={\frac {1}{\mu }}\left({\frac {\partial \mu }{\partial P}}\right)_{T}\approx {\frac {1}{\mu }}{\frac {\delta \mu }{p}}~~\Rightarrow ~~\delta \mu \approx \mu \chi _{T}~p\approx \mu _{0}\chi _{T}~p$

On a ensuite, avec l'équation de conservation de la masse : $\mathrm {div} {\vec {v}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial \mu }{\partial t}}\approx -{\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {\partial (\delta \mu )}{\partial t}}\approx -\chi _{T}{\frac {\partial p}{\partial t}}$