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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Dualité : Orthogonalité au sens de la dualité Dualité/Orthogonalité au sens de la dualité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
On dit que
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
et
f
∈
E
∗
{\displaystyle f\in E^{*}}
sont orthogonaux si
<
x
,
f
>=
0
{\displaystyle <x,\,f>=0}
.
Définition
Pour
A
{\displaystyle A}
une partie de
E
{\displaystyle E}
, on pose
A
⊥
=
{
f
∈
E
∗
,
∀
a
∈
A
,
<
a
,
f
>=
0
}
{\displaystyle A^{\perp }=\{f\in E^{*},\forall a\in A,<a,\,f>=0\}}
.
Dans cette partie, on appelle
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
E
{\displaystyle E}
Début d’un théorème
Théorème
Pour tout
F
{\displaystyle F}
sous-espace vectoriel de
E
{\displaystyle E}
(
E
{\displaystyle E}
de dimension finie), on a :
d
i
m
F
⊥
=
C
o
d
i
m
F
=
d
i
m
E
−
d
i
m
F
{\displaystyle \mathrm {dim} F^{\perp }=\mathrm {Codim} F=\mathrm {dim} E-\mathrm {dim} F}
Fin du théorème
Corollaire
Pour
F
{\displaystyle F}
et
E
{\displaystyle E}
deux sous-espaces vectoriels de
E
{\displaystyle E}
, il vient :
(
F
∩
G
)
⊥
=
F
⊥
+
G
⊥
{\displaystyle (F\cap G)^{\perp }=F^{\perp }+G^{\perp }}
'Démonstration'
On a déjà
F
⊥
+
G
⊥
⊂
(
F
∩
G
)
⊥
{\displaystyle F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G)^{\perp }}
d
i
m
(
F
⊥
+
G
⊥
)
=
d
i
m
F
⊥
+
d
i
m
G
⊥
−
d
i
m
(
F
⊥
∩
G
⊥
)
=
d
i
m
F
⊥
+
d
i
m
G
⊥
−
d
i
m
(
F
+
G
)
⊥
=
C
o
d
i
m
F
+
C
o
d
i
m
G
−
C
o
d
i
m
(
F
+
G
)
=
C
o
d
i
m
(
F
∩
G
)
=
d
i
m
(
F
∩
G
)
⊥
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {dim} (F^{\perp }+G^{\perp })&=\mathrm {dim} F^{\perp }+\mathrm {dim} G^{\perp }-\mathrm {dim} (F^{\perp }\cap G^{\perp })\\&=\mathrm {dim} F^{\perp }+\mathrm {dim} G^{\perp }-\mathrm {dim} (F+G)^{\perp }\\&=\mathrm {Codim} F+\mathrm {Codim} G-\mathrm {Codim} (F+G)\\&=\mathrm {Codim} (F\cap G)\\&=\mathrm {dim} (F\cap G)^{\perp }\end{aligned}}}
Début d’un théorème
Théorème
Pour tout
F
′
{\displaystyle F'}
sous-espace vectoriel de
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
, on a :
d
i
m
F
′
⊥
=
C
o
d
i
m
F
′
{\displaystyle \mathrm {dim} {F'}^{\perp }=\mathrm {Codim} F'}
Fin du théorème
Corollaire
Pour
F
′
{\displaystyle F'}
et
E
′
{\displaystyle E'}
deux sous-espaces vectoriels de
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
, il vient :
(
F
′
∩
G
′
)
⊥
=
F
′
⊥
+
G
′
⊥
{\displaystyle (F'\cap G')^{\perp }=F'^{\perp }+G'^{\perp }}
