Discussion utilisateur:2A02:8429:826C:D901:B0F7:7392:FF05:BD92

Frontière de l'intersection

Bonjour,

dans la preuve du théorème du passage de douane (Wikiversité/Connexité), je ne suis pas certain qu'il soit trivial que la frontière A\cap C dans C est égale à Fr(A)\cap C. Par question de pédagogie et de clarté dans le cadre de Wikiversité, une petite preuve s'impose, n'est-ce pas ? Il est très bête de prétendre que ce fait est absolument trivial, surtout sur un site censé instruire les lecteurs (et non pas être compréhensible uniquement pour les connaisseurs).

Déjà, l'inclusion de droite à gauche est fausse. Il suffit de faire un dessin où A est un disque ouvert et C est fermé, A et C sont tangents sans s'intersecter (vous pouvez même allonger un peu C pour que C intersecte A à un autre endroit, comme ça l'hypothèse du théorème est vérifiée). Vous prenez x\in C, le point où ils sont tangents (x est donc dans l'adhérence de A), alors vous avez trouvé un point de C dans la frontière de A. Mais ce x n'est pas dans la frontière de A\cap C dans C. En effet, il serait dans l'adhérence de A\cap C dans C, donc dans l'adhérence de A\cap C dans l'espace E, et le dessin assure que ce n'est pas le cas puisque x serait à "un endroit où A ne croise pas C".

L'inclusion réciproque n'est pas immédiate non plus.

Supposant qu'elle est vraie, j'ai quand même modifié la page pour écrire qu'une partie "contient" l'autre, mais il faudrait le prouver.

Quel est votre avis ? MonsieurClumsy (discuter) 2 octobre 2023 à 19:10 (UTC)