Discussion:Résolution d'équations différentielles simples/Équations sans second membre

La solution des Équations différentielles linéaires du second ordre sans second membre

"$f''(x)+a\,f'(x)+b\,f(x)=0$ On ne démontrera pas le résultat suivant dans ce cours car il sera vu en cours de mathématiques : on admet que la solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :

$f(x)=C_{1}\exp(r_{1}x)+C_{2}\exp(r_{2}x)$

"

Ne serait-il pas plus méthodique d'introduire la notion d'équation caractéristique ? Pour une équation différentielle de la forme $a\,x''(t)+b\,x'(t)+c\,x(t)=0$ la forme de la solution dépend du signe du discriminant de l'équation caractéristique  : $a\,x^{2}+b\,x+c\,=O$
​ Si le Discriminant Δ

• est positif la forme de la solution générale est $Aexp(s_{1}t)+Bexp(s_{2}t)$ avec $s_{1}ets_{2}$ les solutions.
• est nul la forme de la solution générale est $\exp(s)(\omega t+\phi )$ avec s la solution.
• est négatif une forme de la solution générale est $Aexp(ut)\cos(vt+B)$ les solutions étant $u\pm iv$ Le terme en exponentiel donnera lieu à l'enveloppe qui traduit l'amortissement.

Voilà, il me semble que cette façon d'apprendre à résoudre les équations différentielles est plus méthodique et permet de différentier chaque régime (amortissement faible, fort, régime critique). Dîtes moi ce que vous en pensez. Cordialement. Fabman 6 août 2008 à 15:35 (UTC)

La méthode que tu décris est en effet la technique « standard » qu'utilise tout le monde pour résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre deux, comme celle que tu cites. Cependant, il me semble que je n'ai eu connaissance de ladite méthode qu'au cours de mes études supérieures. Le niveau de la leçon me semble inférieur — dans ce contexte, on a plutôt tendance à donner les solutions que les méthodes, voire les démonstrations (c'est un fait, ça ne veut pas dire que je soutiens). Le cours s'intitulant « résolution d'équations différentielles simples », je suppose qu’il ne s'agit pas de pousser trop avant les détails. Une discussion mathématique qui inclut la notion d'équation caractéristique (et la généralise) peut être trouvée dans ce vieux cours qui n'attend qu'un bon recyclage (le niveau est trop élevé, le style trop abstrait…àmha), et plus précisément ici concernant ce que tu proposes. En résumé, mathématiquement, ce que tu dis est irréprochable — c’est pédagogiquement que, je suppose, l’introduction de cette idée a été mise de côté dans cette leçon. Sharayanan _(blabla) 7 août 2008 à 01:16 (UTC)

En fait on apprend à résoudre ces équations différentielles selon cette méthode à Bac + 1, en licence ou prépa scientifique (niveau 13 comme celui de la leçon). C'est d'ailleurs la suite directe de ce cours : on apprend d’abord la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre (qu'on savait déjà résoudre mais sans savoir pourquoi cette solution était la bonne en Terminale S (niveau 12)). En suite on apprend que toute solution générale de l'équation de départ est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation sans second membre et vient alors la notion d'équation caractéristique et les différents cas à distinguer. Tout ceci fait parti de l'unes des premières leçons qu'on suit en niveau 13. Fabman 7 août 2008 à 09:49 (UTC)