Discussion:Introduction à la logique mathématique/Introduction, opérateurs NON, ET et OU

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Bonjour, et bienvenus dans le premier chapitre de ce cours d’introduction à la logique mathématique. Comme son titre l'indique, ce cours a pour objectif de vous familiariser avec toute une branche des mathématiques, qui est très importante, qui s’appelle la logique. Alors pour commencer qu'est-ce que la logique ? Et bien, c’est un domaine des mathématiques qui en réalité est très proche de la philosophie. Parce que c’est une branche qui s'intéresse aux valeurs de vérité, aux valeurs de vrai et de faux et à partir de ces valeurs de vrai et de faux, on va chercher à élaborer des raisonnements. Tous les raisonnements, en logique reposent sur les choses que l’on souhaite démontrer, et cela va s'appeler des propositions. Qu'est-ce que c’est une propositions ? Par exemple, c’est tout « Tous les corbeaux sont noirs. » ou encore « 1 + 1 = 3 ». À chacune de ces propositions, on va chercher à savoir si elles sont vraies ou fausses, c'est-à-dire à leur affecter les valeurs vrai ou faux. Alors toute la logique repose sur trois axiomes, ce qu'on appelle des axiomes ce sont des postulats que l’on énonce, qui ne sont pas démontrables mais qui relève du sens et sur lequel on va construire tout une théorie. Alors, pour la logique classique, il existe trois axiomes très important, donc si je prend une proposition A, par exemple « Tous les corbeaux sont noirs. », je vais pouvoir énoncer les trois principes, les trois axiomes de la logique avec cette proposition là. Le premier c’est le principe d'identité qui dit tout simplement qu'A est A, c'est-à-dire que si A est VRAI alors A est VRAI et que si A est FAUX alors A est FAUX. Le deuxième principe est le principe de non contradiction, qui dit qu'A ne peut pas être en même temps VRAI et FAUX, ce qui est évidemment, évident. Et le troisième principe, très important, en logique classique qui s’appelle le principe du tiers exclus qui dit que soit A est VRAI soit A est FAUX, il n'y a pas de troisième état possible en logique lorsque l’on énonce une proposition, elle est forcément soit VRAI, soit FAUSSE. Pour manipuler ces propositions, les logiciens ont eu besoin d'opérateur pour pouvoir les manipuler et les combiner entre elles, c’est ce qu'on appelle des opérateurs logiques. Alors, le premier opérateur logique que je vais vous présenter, c’est la négation. La négation, c’est tout simplement changer la valeur de vérité d'une proposition A, par exemple si A est FAUX et que je nie A, ce sera VRAI ou bien si A est VRAI et que je nie A, ce sera FAUX. L'opérateur qui permet de nier s’appelle tout simplement NON et l'opérateur NON A se note avec le petit symbole que vous voyez qui ressemble un petit peu à un L tourné à 90 degrés. Donc, si je prend les propositions que je vous ai présenté tout à l’heure, si je prend comme proposition A : « 1 + 1 = 3 », la proposition NON A sera « 1 + 1 ≠ 3 ». Si je prend la proposition A : « Tous les corbeaux sont noirs. » et que je cherche à nier cette proposition, je vais atterrir à « Tous les corbeaux ne sont pas noirs. », c'est-à-dire, autrement dit, je vais réussir à trouver quelque part, un corbeau qui n’est pas noir. C'est l'opérateur de négation. En logique, ce que les gens font très souvent lorsqu’ils définissent un opérateur ou alors s'ils cherchent à faire des calculs, c’est définir ce qu'on appelle la table de vérité de l'opérateur. C'est une représentation, sous forme de tableau, de tous les résultats que l’on peut avoir avec cette opérateur, donc pour l'opérateur NON c’est très simple : dans la première colonne, je met A avec toutes les valeurs que peut prendre A, c'est-à-dire FAUX et VRAI et en face je met la valeur que prend NON A dans chacun des cas. Si A est FAUX alors NON A est VRAI et si A est VRAI alors NON A est FAUX. Donc, ceci c’est le premier opérateur, l'opérateur NON, l'opérateur de négation qui s'applique à une proposition. Cependant avec ça, on ne va pas très loin, donc on a eu besoin d'autres opérateurs qui eux permettent de manipuler deux propositions, cela s’appelle des opérateurs binaires et le premier, c’est l'opérateur ET, c’est assez simple : quand je prend deux propositions A et B, chacune pouvant être VRAIES et FAUSSES, je vais définir une nouvelle proposition qui va s'appeler A et B qu'on note avec l'espèce de V à l’envers et A et B sera VRAI lorsque A et B sont VRAIS et qui sera FAUX, sinon. Si je dessine la table de vérité de l'opérateur ET, si A et B sont tous les deux FAUX, forcément A et B est FAUX ; si A est VRAI et B est FAUX et bien A et B est FAUX aussi ; si A est FAUX et B est VRAI alors A et B est FAUX aussi, il n'y que lorsque A et B sont tous les deux VRAIS qu'A et B est VRAIS. Vous avez devant vous la table de vérité de l'opérateur ET, elle est importante à bien comprendre et à bien retenir car c’est un opérateur qui est à la base de nombreuses démonstrations en logique. Alors, le grand compagnon de l'opérateur ET est l'opérateur OU, donc l'opérateur OU c’est le même en couleur, c'est-à-dire lorsque je prend deux propositions A et B, je vais pouvoir définir une nouvelle proposition A ou B, noté par le symbole qui ressemble un petit peu à un V, et donc, A ou B sera VRAI lorsque A sera VRAI ou bien lorsque B sera VRAI, ou bien les deux. Donc le OU en logique est un OU qu'on appelle inclusif, c'est-à-dire que c’est l'un ou l'autre, ou les deux. Sinon, c’est FAUX. Si je dessine la table de vérité de cette opérateur OU, lorsque A et B sont tous les deux FAUX, A ou B sera FAUX, par contre, dès que l'une des propositions A ou B devient VRAI, A ou B devient VRAI.