Discussion:Analyse vectorielle/Rotationnel

Bonjour, je ne parviens pas à comprendre l'exemple. Quelqu'un pourrait il m'expliquer mieux la chose ?

merci beaucoup — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 82.123.151.143 (d · c · b · s).

L'exemple mis en jeu sur cette page utilise quelques notions de mécanique des fluides qui n'est peut-être pas familière de tous. Pour faire simple, un écoulement peut entraîner un fluide d'une infinité de façons différentes : en surface libre, dans des tuyaux, avec de la turbulence… Ce qui nous intéresse ici est la tendance du fluide à faire des tourbillons au cours de l'écoulement (dessin de droite) plutôt qu’à s'écouler sagement en ligne droite (dessin de gauche).

Cette tendance s'analyse en étudiant la répartition des vecteurs vitesse du fluide dans l'espace au cours de l'écoulement. En mécanique du solide indéformable, on dispose de la notion de vecteur moment pour quantifier cette tendance d'un solide à tourner sur lui-même. Ainsi, un solide de moment cinétique ${\vec {L}}=L{\vec {u}}_{z},~M>0$ aura tendance à tourner dans le sens trigonométrique autour de l'axe ${\vec {u}}_{z}$.

En mécanique des fluides, un fluide étant par définition déformable car composé de particules libres les unes par rapport aux autres, on est obligés d'étudier la topologie complète à l'échelle locale des vecteurs vitesse dans un écoulement pour visualiser le comportement global du système. C'est le but du vecteur appelé « Vorticité » défini par ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {v}})$

Pour faire un cas simple, étudions un tourbillon « simple », où le fluide tourne autour d'un axe fixen, comme celui de ce chapitre. La forme des vecteurs vitesse dans un tel écoulement est de la forme ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$

En utilisant la définition du rotationnel et en l'appliquant à ce champ de vitesse, on trouve un vecteur vorticité suivant ${\vec {u}}_{z}$ orienté vers les z négatifs. En faisant le parallèle avec le moment cinétique, on obtient bien un fluide tournant autour de l'axe ${\vec {u}}_{z}$ et l'orientation du vecteur vorticité donne le sens de l'écoulement, ici horaire. Xzapro4 _discuter 3 octobre 2009 à 09:46 (UTC)