Discussion:Équation du troisième degré/Méthode de Cardan

Bonjour. Dans le cas de delta négatif, vous utilisez la notation ${\sqrt[{3}]{w}}$ alors que w est complexe sans explication. Je suppose donc qu’il faut choisir n’importe laquelle des 3 racines de w. Mais rien ne dit qu’il faut prendre la "même racine cubique", i.e la principale donnée par ${\sqrt[{3}]{w}}={\sqrt[{3}]{module-de-w}}*e^{i*un-argument-de-w/3}$ ou bien une des deux autres obtenues en multipliant la principale par j et j². Si l’on ne prend pas cette précaution, u et v peuvent ne pas être conjugués et les solutions non-réelles... Je pense qu’il faudrait ajouter un éclaircissement à ce sujet dans votre cours, d'autant plus que malheureusement il ne semble pas exister de cours sur les racines n-ièmes d'un nombre complexe dans wikiversité.

Merci beaucoup pour votre compréhension et votre investissement pour réaliser ce cours. (désolé pour ma syntaxe scabreuse pour les formules mathématiques) 17 août 2010 à 08:48 (UTC)

Vous avez raison, ce n’est pas très clair tel que je l'ai écrit. On doit , bien sur, choisir les racines cubiques u et v conjuguées. Je vais modifier le cours pour que ce soit plus clair. --Lydie Noria 18 août 2010 à 06:31 (UTC)

Autant pour moi. Il suffit juste de prendre les racines de tel sorte que le produit des racines uv vale -p/3 (condition a ne pas oublier quand on fabrique le système pour trouver u et v). La méthode que j’ai donné en premier lieu ne marche que pour p réel, i.e si les coefficients de l'équation sont réels. Cette méthode permet donc de réinvestir les formules de Cardan pour le cas des coefficients complexes. Merci d’avoir pris en compte ma remarque.

Cas complexe ?

Ah bon ? les formules fonctionnent aussi si a, b, c et d sont complexes, comme pour le second degré ? En tout cas sinon je n'ai jamais entendu parler d'une méthode explicite pour les équations à coefficients complexes. 90.18.206.227 11 septembre 2010 à 16:42 (UTC)

Les formules de Cardan sous-entende qu'a, b, c, d, sont réels. Il est tellement rare que ce ne soit pas le cas qu’il serait étonnant que quelqu’un ait établit des formules pour ce cas. Si toutefois vous avez une équation avec a, b, c, d non réels, vous pouvez simplement la résoudre en déroulant la méthode depuis le début. C'est-à-dire en posant z = u + v et ainsi de suite. Si cela vous interresse, je peux essayer de créer un exercice que je rajouterais dans les exercices sur la simplification des racines et qui devrait porter le numéro 5-5. Cordialement. --Lydie Noria 12 septembre 2010 à 08:05 (UTC)

Pourquoi pas ? Je ne suis pas contre. Mais je voulais aussi savoir si les formules établies dans ce chapitre étaient exactement les même ou si elles avaient des expressions différentes. Merci beaucoup pour votre dévouement. 195.6.234.195

Si les coefficients de l'équation sont complexe et si Δ est complexe, je pense que vous pouvez utiliser les formules :

$x_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}-{\frac {b}{3a}}~$

$x_{2}=j.{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}+j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}-{\frac {b}{3a}}~$

$x_{3}=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}+j.{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}-{\frac {b}{3a}}~$

en vérifiant bien que le produit des racines cubiques donnent bien -p/3. Cordialement. --Lydie Noria 7 octobre 2010 à 19:53 (UTC)

comment peut-on être sur qu'on a tous les couples de solution (u,v) ?

dans la démonstration vous dites : pour simplifier on suppose que 3uv + p =0 comment peut-on être sur a la fin qu'on a tous les couples possibles (u,v) de solutions ? Merci

• On n'a pas tous les couples (u,v) de solutions vérifiant z = u + v avec z racine de l'équation à résoudre. On a seulement les couples (u,v) de solutions vérifiant la condition 3uv + p = 0 et cela suffit car ça nous permet d'obtenir trois racines pour l'équation à résoudre qui est du troisième degré. Or, on sait que les équations du troisième degré ne peuvent pas avoir plus de trois racines. Il n'est donc pas nécessaire de chercher d'autres coupples (u,v) de solutions vérifiant une condition autre que 3uv + p = 0. Bien cordialement. --Lydie Noria 29 novembre 2011 à 09:57 (UTC)

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dans w:Équation cubique. Merci d'en tenir compte en cas de renommage. Anne, 9/9/2018