En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Annexe : Sujet de bac S
Continuité et variations/Annexe/Sujet de bac S », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire.
Soit
la fonction définie sur
par
1.a) Déterminer les limites de
en
et
.
- b) Étudier le sens de variation de
, puis dresser son tableau de variations, sur
.
2. Démontrer que l'équation
admet deux solutions dans
, dont l'une dans l'intervalle
, qui sera notée
.
3. En déduire le signe de
sur
et le présenter dans un tableau.
Soit
la fonction définie sur
par :
1. Démontrer que
est continue sur
.
2. On admet que le tableau de variations de
est le suivant :
x
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f(x)
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est un nombre réel donné. Déterminer en fonction de
le nombre de solutions
dans l'intervalle
de l'équation
.
3.
étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n
pour lesquelles l'équation
admet deux solutions distinctes.
Soit
la fonction définie sur
par :
1. Démontrer que
est continue sur
.
a) Préciser les fonctions g, h, ket i telles que
b) Justifier de la continuité de g, h, ket i , sur un intervalle bien choisi pour chacune.
c) Conclure quant à la continuité de f sur
.
2. On admet que le tableau de variations de
est le suivant :
x
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f(x)
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a) Démontrer en utilisant les variations de
que
pour tout x de
,
b) Démontrer en utilisant les variations de
que
pour tout x de
,
c) Démontrer que si
est un nombre réel de l'intervalle
l'équation
admet exactement 1 solution sur
d) En admettant de plus que pour tout x de
,
,
démontrer que si
est un nombre réel de l'intervalle
l'équation
admet exactement 1 solution sur
e) Soit k un nombre réel quelconque, discuter en fonction de k et
en utilisant a), b), c), d) le nombre de solutions
dans l'intervalle
de l'équation
.
f) Démontrer le résultat admis en d).
3.
étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n
pour lesquelles l'équation
admet deux solutions distinctes.