Conduction thermique/Annexe/Formulaire

Loi de Fourier

Expression

Début d’un théorème

Loi de Fourier

$d^{3}Q={\vec {j_{Q}}}.{\vec {d^{2}S}}.dt$ avec :

• $d^{3}Q$ la quantité de chaleur qui traverse $d^{2}S$ pendant la durée $dt$
• ${\vec {j_{Q}}}=-K{\vec {\nabla }}T$ le vecteur densité courant de chaleur
• T la température thermodynamique
• K la conductivité thermique du milieu ambiant

Fin du théorème

Équation de continuité

Équation de continuité

${\textrm {div}}{\vec {j_{Q}}}+\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}=0$ où :

• $\rho$ est la masse volumique du corps
• c la capacité calorifique massique du corps

Établissement de l'équation de continuité

Soit V un volume fermé par une surface S. Il ne peut y avoir ni création ni accumulation de chaleur dans le volume V, donc l'augmentation algébrique de chaleur par unité de temps est égale à (-chaleur sortant de S) pendant la même durée.

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\iiint _{V}\rho cT.d^{3}\tau \right)=\iiint _{V}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}.d^{3}\tau =-\int \!\!\!\!\!\int _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc {\vec {j}}_{Q}.{\vec {d^{2}S}}=-\iiint _{V}{\textrm {div}}({\vec {j}}_{Q}).d^{3}\tau$ (par le théorème d'Ostrogradski)

Donc $\iiint _{V}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}.d^{3}\tau =-\iiint _{V}{\textrm {div}}({\vec {j}}_{Q}).d^{3}\tau$.

Soit, $\iiint _{V}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}+{\textrm {div}}({\vec {j}}_{Q})\right).d^{3}\tau =0$, et ce pour tout volume V, d'où finalement, l'équation de continuité.

 

Équation de diffusion de la chaleur en l'absence de sources

Équation de diffusion de la chaleur en l'absence de sources

${\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {K}{\rho c}}\Delta T$

Établissement de l'équation de diffusion

D'après la loi de Fourier, ${\vec {j_{Q}}}=-K{\vec {\nabla }}T$ donc ${\textrm {div}}({\vec {j_{Q}}})=-K\Delta T$. Il suffit alors de reporter dans l'équation de continuité.

 

Résistance thermique

Puissance thermique

Définition

On appelle puissance thermique P à travers une surface S le flux du vecteur densité courant de chaleur à travers S : $P=\iint _{S}{\vec {j_{Q}}}.{\vec {d^{2}S}}$

Propriété

P correspond à la quantité de chaleur qui traverse S par unité de temps.

Résistance thermique

Définition

On appelle résistance thermique d'un circuit sans générateur de chaleur de section S placé entre deux températures $T_{A}$ et $T_{B}$ la grandeur $R={\frac {T_{A}-T_{B}}{P}}$ où P est la puissance thermique à travers S.