Colorimétrie-xyY/Colorimétrie-xyY-2°-CIE1931-2012-2020-

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1.Colorimétrie-xyY-2°-CIE1931-2012-2020-

La vision humaine peut se calculer par la COLORIMETRIE

Avec la LUMINANCE BARYCENTRIQUE, on peut faire tous les mélanges de lumières donc de couleurs sur le diagramme de chromaticité xy

colorimétrie

FONCTIONS COLORIMETRIQUES

J'ai travaillé sur les lumières en 2012 et 2013.Je suis arrivé à comprendre à peu près tous les calculs du diagramme de chromaticité xy auquel on peut adjoindre la luminance Y et à pouvoir en refaire toutes les démonstrations partant des expériences de WRIGHT et GUILD et des courbes de sensibilité de la vision humaine ou fonction d'efficacité lumineuse de l'œil V1924 ou V1964 ou V1978.

Je reprends ce travail au cours du confinement en 2020.
On part des travaux de WRIGHT et GUILD, et avec V1924, on détermine CIE xy Y : C'est la démarche historique. Ensuite en partant uniquement de WRIGHT et V1924, on calcule xbar, ybar et zbar, et ensuite L,M,S.

Il est à noter que toutes les fonctions colorimétriques sont sans dimension à l'exception de λ la longueur d'onde qui est exprimée en nanomètres. Donc la transformation des tests des 17 expérimentateurs de WRIGHT et GUILD n'est qu'une transformation mathématique (mathématiquement triviale) mais guidée par le génie de SCHRÖDINGER (célèbre pour son équation quantique) et les calculs de Deane Brewster JUDD (1900-1972)

Triangle de MAXWELL calculé avec (r1,g1,b1) de WRIGHT pour 460nm 520nm 640nm

Quelle est la question que je me pose et comment la colorimétrie peut-elle y répondre ? Ma question est : Que donne le mélange de 2 lumières ( sous-entendu que ce qui m'intéresse c'est le mélange soustractif des pigments). La luminance m'embête car elle n'a guère d'équivalent dans les pigments. Les écrans des ordinateurs personnels (PC personal computer) sont une référence intéressante car avec leur gamut Adobe sRGB, je puis étudier quelque chose, et avec la correspondance avec les imprimantes je puis travailler sur quelque chose de concret. Avec la luminance, nous sommes avec un élément peu intuitif et difficilement quantifiable intellectuellement. La chrominance oui, la luminance non. J'ai déterminé les luminances des primaires de WRIGHT, mais ces luminances ne sont pas parlantes. ce qui serait plus parlant ce serait les intensités du courant des lampes ayant servi de primaires, par exemple mesurées avec un rhéostat. C'est en fait ce qu'a mesuré WRIGHT par r1,g1,b1 ! mais comme il ne connaissait pas la luminance des lumières monochromatiques à égaliser !
A l'intérieur du spectrum locus on peut placer autant de gamuts que l'on veut, donc autant de triangles de primaires que l'on veut et étudier leurs mélanges. Avec Adobe sRGB on a un exemple concret. Tout le reste c'est pour les spécialistes !

2. Préambule général

La vision humaine ancre des images colorées dans nos cerveaux.
Nous sommes parfois émerveillés du spectacle offert à nos yeux et notre réflexe est de le fixer sur notre appareil photo numérique ou notre téléphone. Ensuite nous nous faisons un plaisir à le revoir et à le montrer à nos amis et connaissances. Nous passons beaucoup de notre temps devant la télévision et nos ordinateurs (sRGB) et parfois au cinéma où nous visionnons encore des images numériques. De plus en plus nous regardons les œuvres des peintres en projection sur des parois, comme Klimt à la basse nazie des sous-marins de ... et vincent à Auvers. Il semble indéniable que les couleurs lumières avec 3 primaires sont beaucoup plus agréables que la réalité et les couleurs pigment, car forcément plus claires, donc plus lumineuses (désaturées c'est à dire avec ajout de blanc ou de la complémentaire). De toute façon c'est la vision humaine mondiale de notre époque, même pour les pays en voie de développement.
En 1931 la CIE a numérisé la vision humaine et maintenant nous voyons principalement à travers cette numérisation. Aussi il est important de bien connaître cet outil mathématique.

3. Préambule pour les non-experts

Newton en 1666, a décomposé la lumière avec un prisme et l'a recomposée en plaçant un second prisme (ce qui revient à placer une plaque de verre sur le trajet de la lumière qui la traverse donc sans modification).
Young en 1801 a recomposé de la lumière blanche à partir de 3 lumières rouge verte et bleue.
On peut être étonné qu'en l'espace de plus de 100 ans, les études sur la lumière n'aient guère avancées. En France vers 1793 les académiciens s'opposent aux exposés de Marat après avoir accepté sa traduction anonyme des études de Newton en 1787.
Maxwell en 1855, a mesuré la quantité de lumière blanche qu’il faut ajouter à une lumière monochromatique pour égaliser un mélange de 2 primaires et a constaté que cette mesure est faible ; le fait que cette mesure ne soit pas nulle différencie la colorimétrie du triangle de Maxwell. On voit, en particulier que Maxwell aurait pu étudier la quantité de lumière blanche qu’il faut ajouter à deux lumières d'intensité variable, rouge (vers les infrarouges) et violette (vers les ultraviolets), situées aux deux extrémités du spectre(au-delà des primaires) pour égaliser un mélange des 2 primaires rouge et bleue. Donc suivant la technique de Maxwell, on pourrait faire des mesures sur les lumières non spectrales dites improprement pourpres (mauvaise traduction de l'anglais purple), en particulier le magenta, donc ce sont les lumières magenta (voir Robert Sève).
La colorimétrie veut remplacer une lumière quelconque définie par son spectre par 3 nombres x,y,Y (x,y définissant la chromaticité et permettant de calculer la longueur d'onde correspondante, ou complémentaire pour les pourpres non saturés ou saturés) et Y la luminance (luminosité pour le profane).<br/

Pour les non-experts et les lecteurs pressés, vous pouvez aller en 10.

Un document de référence très important est celui de BROADBENT qui explique en partie comment à partir des expérimentations de WRIGHT et GUILD on arrive à CIE1931 xyY 2°.
Calculation from the original experimental data of the CIE 1931 RGB standard observer spectral chromaticity:Co-ordinates and color matching functions, By A.D. Broadbent,Département de génie chimique, Université de Sherbrooke,Québec,Canada J1K 2R1 Description of the data obtened by Wright.
Pour voir les documents de Broadbent :

1. http://www.cis.rit.edu/mcsl/research/1931.php
2. texte:cliquer sur:CIE1931_RGB.pdf
3. tableur:cliquer sur:Cie1931_RGB_v2.xls
4. texte seulement:http://www.cis.rit.edu/mcsl/research/broadbent/CIE1931_RGB.pdf

Les documents ci-dessus ne sont plus accessibles par internet.

Autres documents :

1. CVRL Color & Vision database CIE (1931) 2 et 10 deg. color matching functions(λ): xbar ybar zbar: http://www.cvrl.org.
2. http://sellig.zed.myriapyle.net/ Restitution formelle de la théorie sous-jacente à la norme colorimétrique XYZ CIE 1931 Calcul de la matrice de passage de RGB à XYZ par la résolution d'un système de 6 équations à 6 inconnues.Voir le synthétiseur de couleurs en HTML5.Ref 7.
   
3. http://www.photo-lovers.org/color.shtml.fr
4. COULEUR VISION http://www.handprint.com/HP/WCL/color6.html

4.Bibliographie

1. A.RE-DETERMINATION OF THE TRICHROMATIC COEFFICIENTS OF THE SPECTRAL COLOURS BY W.D.WRIGHT MS,received,7th February,1929 Read and discussed,14th March ,1929. pages 141-164 dans Transactions of the Optical Society, vol. 30, no 4, 1er mars 1929
2. A.RE-DETERMINATION OF THE MIXTURE CURVES OF THE SPECTRUM MS,received,3 1stJanuary,1930. Read and discussed,10th April,1930. pages 201-218
3. THE COLORIMETRIC PROPERTIES OF THE SPECTRUM BY J.GUILD ,NATIONAL PHYSICAL LABORATORY (NPL) received february 19,1931-read april 30,1931.pages 149-187
4. CIE COLOR SPACE BY GERNOT HOFFMANN

5.CHANGEMENT des primaires NPL(700-546,1-435,8) en primaires de WRIGHT(650-530-460)

Un document de référence très important est celui de BROADBENT qui explique en partie comment à partir des expérimentations de WRIGHT et GUILD on arrive à CIE1931 xyY 2°. Ce document est présenté dans des feuilles de calculs sur Tableur Excel.
texte seulement:http://www.cis.rit.edu/mcsl/research/broadbent/CIE1931_RGB.pdf
On ne peut plus accéder à ce site en 2020 ! site à partir duquel j'ai travaillé en 2012-2013. Comme je n'ai rien gardé de ce site, je dois reconstituer les études ci-dessous, et pour le faire le tableau T m'a suffit

Tableau T.

λ	r3	g3	b3
650	0.990	0.010	0.000
530	-0.502	1.453	0.049
460	-0.075	0.041	1.034

Les calculs sont faits en utilisant les opérations matricielles car elles permettent d’établir toutes les relations biunivoques entre les différentes fonctions colorimétriques et permettent des calculs par tableaux de valeurs dans un TABLEUR.

Les notations r1,r2,r3,r4,r5 sont celles de BROADBENT dans ses feuilles de calculs sur TABLEUR, ainsi que rbar et xbar.
Les valeurs (r3,g3,b3) de Wright sont similaires aux valeurs de (r,g,b) de CIE 1931 que l’on obtient à partir des valeurs de (xbar,ybar,zbar), donc relatives aux primaires NPL :
DANS TOUS MES TEXTES rbar,gbar,bbar ont les valeurs de rbar,gbar,bbar de CIE1931 divisées par 0,17697.
rbar=rbarCIE/0,17697
(r,g,b)=(rbar,gbar,bbar)/(rbar+gbar+bbar)
(rbar,gbar,bbar)={(xbar,ybar,zbar)*Mt^-1}

avec Mt la matrice (3,3) dont l’on calculera plus loin les coefficients par ajustements successifs :

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.49&0.17697&0\\0.31&0.81240&0.01\\0.20&0.01063&0.99\end{pmatrix}}.$

Ce que l’on peut écrire plus simplement, n1 étant la normalisation à l'unité c'est-à-dire la division de chaque terme de la ligne par la somme des 3 termes de la ligne :
(r,g,b)=((xbar,ybar,zbar)*Mt^-1)n1
n1=1/(rbar+gbar+bbar)

5.1 Calcul de (r1,g1,b1) à partir de (r3,g3,b3) avec BROADBENT

On verra par la suite que l’on peut relier (r1,g1,b1) à (r,g,b) et à (xbar,ybar,zbar) et à (l,m,s) par des relations biunivoques.

Le tableau (r3,g3,b3) à 3 décimales a été publié par WRIGHT (de même que le tableau (r2,g2,b2). Le tableau (r1,g1,b1) en découle simplement (de même que (r2,g2,b2)).

Aussi on est bien obligé de repartir des valeurs de (r3,g3,b3) pour calculer (r1,g1,b1) dont WRIGHT ne donne qu'un diagramme.

Le tableau (r3,g3,b3) donne les valeurs de (r3,g3,b3) de 400nm à 700nm de 10 en 10nm

Colorimétrie de WRIGHT

Dans le fichier.pdf à droite, on voit les calculs détaillés de r1(λ) r3(λ) et r1(λ) →

On dresse le tableau T(3x3) des valeurs de (r3,g3,b3) (Published by Wright) pour les primaires de WRIGHT : 650-530 et 460nm

Tableau T.

λ	r3	g3	b3
650	0.990	0.010	0.000
530	-0.502	1.453	0.049
460	-0.075	0.041	1.034

De ce tableau T on tire la matrice :

${\begin{pmatrix}0.990&0.010&0.000\\-0.502&1.453&0.049\\-0.075&0.041&1.034\\\end{pmatrix}}=T$

Par inversion de la matrice $T$ notée T^-1 et division de chaque terme par la somme de la colonne (normalisation à l'unité des colonnes notée n1c) on obtient la matrice :Q=(T^-1)n1c

'n1c est la normalisation à l'unité suivant les colonnes c, c'est-à-dire la division de chaque terme des colonnes par la somme de la colonne:n1c=t)n1)t que l’on peut obtenir aussi par transposition puis division par la somme de la ligne (n1 normalisation à l'unité) puis à nouveau transposition.
'

${\begin{pmatrix}1.007&-0.007&0.000\\0.346&0.687&-0.033\\0.059&-0.028&0.968\\\end{pmatrix}}=T^{-1}$

Sommes des colonnes=S:

${\begin{pmatrix}1.412&0.652&0.936\\\end{pmatrix}}=S$

Division de chaque terme par la somme de la colonne (normalisation à l'unité des colonnes notée n1c) on obtient la matrice :

$Q=(T^{-1})n1c$.

${\begin{pmatrix}0.713&-0.011&0.000\\0.245&1.053&-0.035\\0.042&-0.043&1.034\\\end{pmatrix}}=Q$

On calcule R2=r3*Q qui effectue la première partie du changement des primaires NPL : 700nm-546,1 et 435,8 en celles de WRIGHT 650nm-530nm et 460nm.
Le tableau r2 est tiré de (R2)n1, mais nous n'en avons pas besoin.

Il faut noter que pour WRIGHT les primaires NPL sont indiquées comme 546nm et 435.5nm et non 546.1nm et 435.8nm qui sont les valeurs NPL plus précises, ce qui semble confirmer que WRIGHT a utilisé des mesures directes de r1,g1,b1 pour les primaires NPL et non une interpolation.

Ensuite on calcule R1=R2*D:

d étant la matrice diagonale obtenue avec les proportions normalisées à 1 (ou pourcentages divisés par cent) soit (0.243 0.410 0.347) des primaires de WRIGHT pour obtenir le blanc NPL.

${\begin{pmatrix}0.243&0&0\\0&0.410&0\\0&0&0.347\\\end{pmatrix}}=d$

Nous gardons la division par 0,333... équivalente à une multiplication par 3 pour faire comme BROADBENT et avoir une comparaison immédiate, bien que cette opération soit inutile, mais représente les valeurs du mélange des primaires NPL (0,333...;0,333...;0,333...), ce qui pourrait servir dans un autre cas de changement de primaires.

${\begin{pmatrix}0.729&0&0\\0&1.Z3&0\\0&0&1.041\\\end{pmatrix}}=D=3d$

Puis on calcule r1=(R1)n1 (écriture équivalente à (R1,G1,B1)n1 ).

Soit S1=R1+G1+B1,alors r1=R1/S1;g1=G1/S1;b1=B1/S1
développe la normalisation à l'unité n1 qui consiste en la division de chacun des termes de la ligne par la somme de la ligne.

On arrive donc à r1=(r3*QD)n1 ; QD représente la matrice résultant du produit matriciel Q*D ; et inversement r3=(r1*QD^-1)n1 ; QD^-1 représentant la matrice inverse de QD.

${\begin{pmatrix}0.520&-0.013&0.000\\0.179&1.296&-0.036\\0.031&-0.052&1.077\\\end{pmatrix}}=QD$

${\begin{pmatrix}0,990&0,010&0,000\\-0,502&1,453&0,049\\-0,075&0,041&1,034\\\end{pmatrix}}=(QD-1)n1$

QD^-1 est également le tableau S(3x3) des valeurs de r1,g1,b1 que l’on obtient ainsi pour les primaires 650nm, 530nm et 460nm.

Tableau T.de WRIGHT.

λ	r3	g3	b3
650	0.990	0.010	0.000
530	-0.502	1.453	0.049
460	-0.075	0.041	1.034

On obtient ainsi le tableau de r1,g1,b1 avec les primaires de WRIGHT qui est pratiquement identique à celui approché donné par BROADBENT:
(r1,g1,b1)=((r3,g3,b3)*QD)n1
${\begin{pmatrix}lambda&r1&g1&b1\\400&0,040&-0,064&1,024\\410&0,038&-0,064&1,026\\420&0,036&-0,063&1,026\\430&0,033&-0,056&1,023\\440&0,026&-0,043&1,017\\450&0,014&-0,022&1,009\\460&-0,006&0,013&0,993\\470&-0,034&0,082&0,952\\480&-0,077&0,237&0,840\\490&-0,126&0,503&0,623\\500&-0,150&0,797&0,353\\510&-0,133&0,989&0,145\\520&-0,076&1,045&0,031\\530&-0,002&1,007&-0,006\\540&0,075&0,946&-0,021\\550&0,158&0,869&-0,027\\560&0,251&0,775&-0,026\\570&0,357&0,666&-0,023\\580&0,475&0,542&-0,018\\590&0,602&0,413&-0,014\\600&0,720&0,290&-0,010\\610&0,820&0,187&-0,007\\620&0,891&0,112&-0,003\\630&0,941&0,061&-0,002\\640&0,973&0,027&-0,001\\650&0,998&0,003&0,000\\660&1,010&-0,010&0,000\\670&1,015&-0,015&0,000\\680&1,020&-0,021&0,001\\690&1,025&-0,026&0,001\\700&1,025&-0,026&0,001\\\end{pmatrix}}$

Tableau P.

λ	r1	g1	b1
700	1.025	-0.026	0.001
546,1	0,124	0,901	-0,025
435,8	0,029	-0,050	1,021

On a extrait du tableau (r1,g1,b1) les valeurs de (r1,g1,b1) relatives aux primaires NPL 700 546,1 et 435,8nm ce qui donne le tableau P ci-dessus.
On constate que l’on n'a pas eu besoin de l'interpolation par polynômes du 4 ème degré pour obtenir les valeurs de r1,g1,b1 pour les primaires NPL (700nm 546.1nm et 435.8nm données par le tableau P ci-dessus.

Le tableau de (r1,g1,b1) donné avec 16 décimales est un tableau indiqué calculé par SHERBROOKE et ne peut donc avoir été publié par WRIGHT comme l'écrit BROADBENT.

WRIGHT a donné uniquement le diagramme (les 3 courbes) de r1,g1,b1 en fonction de λ.

On extrait aussi de ce tableau(r1,g1,b1) les valeurs r1,g1,b1 pour les primaires de WRIGHT

λ	r1	g1	b1
650	0.998	0.003	0.000
530	-0,002	1,007	-0,006
460	-0,006	0,013	0,993

On devrait avoir un tableau qui ne comporte que des 0 et des 1. L'erreur maximale est d'environ 7 pour mille et l'erreur estimée pour le tableau de : 0,003+0,007+0,013=23 pour mille soit 2,3%
Nous verrons un peu plus loin comment faire mieux coïncider ces valeurs avec les valeurs escomptées, faites de 0 et de 1.

On a donc montré que r1 et r3 sont reliés par une correspondance biunivoque :

(r1,g1,b1)=((r3,g3,b3)*QD)n1

(r3,g3,b3)=((r1,g1,b1)*QD^-1)n1

ainsi que nous le montrerons de même pour toutes les valeurs CMF (COLOR MATCHING FUNCTIONS soit couleurs mises en fonctions).

(r1,g1,b1), (r3,g3,b3), (rbar,gbar,bbar), XYZ, xyz, (xbar,ybar,zbar), lms, LMS

Comme Robert Sève le montre également en donnant (x,y,z) en fonction de (r,g,b) et inversement(page 17))

(r,g,b) de CIE1931 étant l'équivalent de (r3,g3,b3) de WRIGHT.

Une de ces séries de valeurs permet de retrouver toutes les autres : elles sont donc équivalentes et l’on peut représenter la vision humaine par l'une quelconque de ces séries de valeurs.

5.2 Re-calcul de (r3,g3,b3) en repartant de (r1,g1,b1)

Ceci reconstitue la démarche initiale de WRIGHT, résultant des essais de ses 10 expérimentateurs.

On a démontré ci-dessus:
r3=(r1*QD^-1)n1
c'est-à-dire :(r3,g3,b3)=((r1,g1,b1)*QD^-1)n1
donc ce calcul est immédiat.

On retrouve ainsi exactement (à -5E-015 près au maximum=-5x10^(-15) =-5x10-15) le tableau de (r3,g3,b3) publié par WRIGHT, avec une seule différence de 0.001 pour 610nm où la somme de WRIGHT=0.999 donc il faut corriger r3(610nm)=0.903 et non 0.902;alors on trouve que la plus mauvaise précision est de -5E-015, donc une égalité parfaite, ce qui est normal puisque on calcule r1 avec r3 et r3 avec ce r1, donc la multiplication par une matrice et son inverse redonne les mêmes valeurs aux normalisations à l'unité prés et à la précision des calculs du tableur.

En comparant les résultats des 10 expérimentateurs de WRIGHT soit r3 aux résultats de ses 7 expérimentateurs soit r5, GUILD constate leur équivalence. Ceci donne le tableau (r,g,b) publié par CIE1931 qui est le point de départ de la colorimétrie moderne .

Ce tableau (r,g,b) est donc la référence unique et primordiale de la colorimétrie (avec une légère variante pour un angle de vision de 10° donnant le même diagramme de chromaticité mais décalé de 5nm environ).

Pour obtenir d'autres fonctions colorimétriques (color matching functions CMF) on a besoin d'une autre entité : c'est la fonction de sensibilité de la vision humaine représentée par les fonctions V1924(2°), V1964(10°), V1978(2°), etc... qui sont nombreuses. Donc à chacune de ces fonctions sensibilité correspond un système colorimétrique particulier dont l'établissement résulte d'un calcul simple (mathématiquement trivial).

6. CHANGEMENT direct des primaires de WRIGHT (650,530,460) en primaires NPL (700-546,1-435,8)

Cependant le tableau (r,g,b) découlant de (xbar,ybar,zbar) est légèrement différent des tableaux escomptés avec les résultats de WRIGHT et les résultats de GUILD pris séparément. Il en est la quintessence, peut être une moyenne un peu arrangée, donc il nous faut retrouver des valeurs de (r1,g1,b1) pour WRIGHT et (r4,g4,b4) pour GUILD qui soient en relation directe et la plus exacte avec (r,g,b). Pour cela on détermine au mieux les mélanges qui donnent le blanc NPL.

7.Relation entre (r,g,b) de CIE1931 et (r1,g1,b1) de WRIGHT

(r,g,b) et (r3,g3,b3) donnent le même diagramme de chromaticité y(x) mais avec une différence de 2 nanomètres environ.

Tableau T.de WRIGHT.

λ	r3	g3	b3
650	0.990	0.010	0.000
530	-0.502	1.453	0.049
460	-0.075	0.041	1.034

Tableau T.de CIE1931

λ	r	g	b
650	0.989	0.011	0.000
530	-0.515	1.475	0.040
460	-0.091	0.052	1.039

Nous allons relier (r1,g1,b1) et (r,g,b) de façon plus précise en calculant un nouveau mélange m0 des primaires 650nm,530nm et 460nm pour donner le blanc NPL.

On sait que le mélange m=(0.243,0.41,0.347) des 36 expérimentateurs de WRIGHT avait d'énormes dispersions (0.15<0.243<0.35 0.32<0.41<0.54 0.11<0.347<0.53) [BROADBENT page 3] et a été calculé suivant un procédé géométrique arbitraire. On peut donc, dans ces limites calculer m0 par ajustements successifs.

On trouve m0=(0.23,0.38,0.39)qui est bien dans les limites précédentes.
On pose d0=m0*I(3x3), I(3x3)étant la matrice (diagonale) unité de rang 3.

${\begin{pmatrix}0.23&0&0\\0&0.38&0\\0&0&0.39\\\end{pmatrix}}=d0$

${\begin{pmatrix}0.69&0&0\\0&1.14&0\\0&0&0.39\\\end{pmatrix}}=D0=3d0$

fonctions colorimétriques

Nous avons précédemment calculé la matrice Q qui permet de calculer (r1,b1,g1)=(r,g,b)*QD

On calcule la matrice QD0

$\mathbf {\begin{pmatrix}0,487&-0,014&0,000\\0,169&1,216&-0,032\\0,034&-0,062&1,202\end{pmatrix}} =QD0$

Donc (r1,g1,b1)=(r,g,b)*QD0
On vérifie bien que pour les primaires de WRIGHT on n'a que des 0 et des 1 et que pour le cyan et le jaune qui ont servi à étalonner les primaires on obtient le tableau suivant qui donne des valeurs très proches de 494 et 582.5nm :

Tableau du cyan et du jaune avec QD0

λ	r1	g1	b1
493,94	-0,120	0,560	0,560
582,58	0,508	0,508	-0,013

Tableau de WRIGHT avec QD0

650	0.989	0.011	0.000
530	-0.515	1.475	0.040
460	-0.091	0.052	1.039

Tableau T.de CIE1931

λ	r	g	b
650	0.989	0.011	0.000
530	-0.515	1.475	0.040
460	-0.091	0.052	1.039

Les 2 tableaux sont identiques

On a donc montré que les résultats des 10 expérimentateurs de WRIGHT redonnent (r,g,b) avec les primaires 630nm, 530nm, 460nm avec un mélange de m0=(0.23,0.38,0.39)

(r1,g1,b1)=((r,g,b)*QD0)n1

$\mathbf {\begin{pmatrix}lambda&r1&g1&b1\\400&0,038&-0,065&1,027\\410&0,037&-0,065&1,028\\420&0,035&-0,064&1,028\\430&0,032&-0,058&1,026\\440&0,026&-0,047&1,021\\450&0,016&-0,030&1,014\\460&0,000&0,000&1,000\\470&-0,025&0,060&0,965\\480&-0,062&0,196&0,866\\490&-0,108&0,443&0,666\\500&-0,137&0,740&0,397\\510&-0,126&0,954&0,173\\520&-0,073&1,030&0,043\\530&0,000&1,000&0,000\\540&0,076&0,943&-0,019\\550&0,158&0,868&-0,026\\560&0,252&0,774&-0,026\\570&0,357&0,666&-0,023\\580&0,476&0,542&-0,018\\590&0,602&0,412&-0,015\\600&0,721&0,289&-0,010\\610&0,821&0,186&-0,007\\620&0,893&0,110&-0,003\\630&0,943&0,058&-0,002\\640&0,976&0,025&-0,001\\650&1,000&0,000&0,000\\660&1,012&-0,013&0,000\\670&1,018&-0,018&0,000\\680&1,023&-0,023&0,001\\690&1,028&-0,029&0,001\\700&1,028&-0,029&0,001\\\end{pmatrix}}$

8. Relation entre (r,g,b) de CIE1931 et (r4,g4,b4) de GUILD

En procédant de même on trouve que les 7 expérimentateurs de GUILD redonnent (r,g,b) avec les primaires 627.7nm, 542nm, 461.6nm avec un mélange de (0.345,0.315,0.34).

9. Relation entre (r,g,b) de CIE1931 et STILES&BURCH

De même les 10 expérimentateurs de STILES et BURCH redonnent (r,g,b) avec les primaires 645.2nm,526.3nm,444.4nm avec un mélange de (0.075,0.34,0.585).

10. Définition de la matrice M permettant de passer de (r,g,b) à (x,y,z) avec V1924

Tous les calculs de la colorimétrie

DANS TOUS MES TEXTES rbar,gbar,bbar ont les valeurs de rbar,gbar,bbar de CIE1931 divisées par 0,17697.
rbar=rbarCIE/0,17697
$\mathbf {CIE1931} ={\begin{pmatrix}lambda&rbarCIE&gbarCIE&bbarCIE\\380&0,000032&-0,000014&0,001153\\385&0,000052&-0,000022&0,001886\\390&0,000096&-0,000042&0,003584\\395&0,000167&-0,000074&0,006473\\400&0,000305&-0,000139&0,012130\\405&0,000474&-0,000222&0,019701\\410&0,000835&-0,000404&0,037078\\415&0,001383&-0,000695&0,066378\\420&0,002129&-0,001103&0,115415\\425&0,002654&-0,001419&0,185757\\430&0,002186&-0,001191&0,247693\\435&0,000353&-0,000205&0,290119\\440&-0,002618&0,001494&0,312285\\445&-0,006722&0,003786&0,318608\\450&-0,012132&0,006776&0,316701\\455&-0,018723&0,010456&0,311659\\460&-0,026097&0,014852&0,298226\\465&-0,033228&0,019764&0,272954\\470&-0,039324&0,025376&0,229907\\475&-0,044706&0,031833&0,185922\\480&-0,049375&0,039138&0,144931\\485&-0,053653&0,047131&0,109672\\490&-0,058140&0,056893&0,082581\\495&-0,064142&0,069486&0,062452\\500&-0,071726&0,085359&0,047759\\505&-0,081202&0,105929&0,036879\\510&-0,089017&0,128607&0,026980\\515&-0,093571&0,152627&0,018425\\520&-0,092652&0,174683&0,012223\\525&-0,084726&0,191132&0,008303\\530&-0,071000&0,203165&0,005484\\535&-0,053182&0,210837&0,003204\\540&-0,031521&0,214658&0,001460\\545&-0,006123&0,214871&0,000225\\550&0,022770&0,211790&-0,000575\\555&0,055158&0,205830&-0,001051\\560&0,090585&0,197026&-0,001293\\565&0,128391&0,185220&-0,001379\\570&0,167690&0,170864&-0,001351\\575&0,207165&0,154291&-0,001237\\580&0,245263&0,136100&-0,001080\\585&0,279873&0,116861&-0,000930\\590&0,309267&0,097539&-0,000789\\595&0,331849&0,079090&-0,000620\\600&0,344305&0,062456&-0,000488\\605&0,347561&0,047760&-0,000375\\610&0,339711&0,035572&-0,000299\\615&0,322660&0,025823&-0,000218\\620&0,297065&0,018284&-0,000151\\625&0,263491&0,012527&-0,000109\\630&0,226768&0,008328&-0,000075\\635&0,192330&0,005374&-0,000049\\640&0,159660&0,003341&-0,000030\\645&0,129052&0,001992&-0,000018\\650&0,101656&0,001164&-0,000012\\655&0,078570&0,000660&-0,000007\\660&0,059325&0,000365&-0,000004\\665&0,043644&0,000204&-0,000002\\670&0,031496&0,000110&-0,000001\\675&0,022933&0,000058&-0,000001\\680&0,016874&0,000027&0,000000\\685&0,011876&0,000010&0,000000\\690&0,008196&0,000003&0,000000\\695&0,005720&0,000001&0,000000\\700&0,004103&0,000000&0,000000\\705&0,002929&0,000000&0,000000\\710&0,002091&0,000000&0,000000\\715&0,001484&0,000000&0,000000\\720&0,001047&0,000000&0,000000\\725&0,000740&0,000000&0,000000\\730&0,000520&0,000000&0,000000\\735&0,000361&0,000000&0,000000\\740&0,000249&0,000000&0,000000\\745&0,000172&0,000000&0,000000\\750&0,000120&0,000000&0,000000\\755&0,000085&0,000000&0,000000\\760&0,000060&0,000000&0,000000\\765&0,000042&0,000000&0,000000\\770&0,000030&0,000000&0,000000\\775&0,000021&0,000000&0,000000\\780&0,000015&0,000000&0,000000\end{pmatrix}}$

$\mathbf {BER2012} ={\begin{pmatrix}lambda&rbarBER&gbarBER&bbarBER\\380&0,000181&-0,000079&0,006515\\385&0,000294&-0,000124&0,010657\\390&0,000542&-0,000237&0,020252\\395&0,000944&-0,000418&0,036577\\400&0,001723&-0,000785&0,068543\\405&0,002678&-0,001254&0,111324\\410&0,004718&-0,002283&0,209516\\415&0,007815&-0,003927&0,375081\\420&0,012030&-0,006233&0,652173\\425&0,014997&-0,008018&1,049652\\430&0,012352&-0,006730&1,399633\\435&0,001995&-0,001158&1,639368\\440&-0,014793&0,008442&1,764621\\445&-0,037984&0,021393&1,800350\\450&-0,068554&0,038289&1,789575\\455&-0,105798&0,059083&1,761084\\460&-0,147466&0,083924&1,685178\\465&-0,187761&0,111680&1,542374\\470&-0,222207&0,143392&1,299130\\475&-0,252619&0,179878&1,050585\\480&-0,279002&0,221156&0,818958\\485&-0,303176&0,266322&0,619721\\490&-0,328530&0,321484&0,466638\\495&-0,362446&0,392643&0,352896\\500&-0,405300&0,482336&0,269871\\505&-0,458846&0,598570&0,208391\\510&-0,503006&0,726716&0,152455\\515&-0,528739&0,862446&0,104114\\520&-0,523546&0,987077&0,069068\\525&-0,478759&1,080025&0,046918\\530&-0,401198&1,148019&0,030988\\535&-0,300514&1,191371&0,018105\\540&-0,178115&1,212963&0,008250\\545&-0,034599&1,214166&0,001271\\550&0,128666&1,196757&-0,003249\\555&0,311680&1,163078&-0,005939\\560&0,511866&1,113330&-0,007306\\565&0,725496&1,046618&-0,007792\\570&0,947562&0,965497&-0,007634\\575&1,170622&0,871848&-0,006990\\580&1,385902&0,769057&-0,006103\\585&1,581471&0,660344&-0,005255\\590&1,747567&0,551161&-0,004458\\595&1,875171&0,446912&-0,003503\\600&1,945556&0,352919&-0,002758\\605&1,963954&0,269876&-0,002119\\610&1,919597&0,201006&-0,001690\\615&1,823247&0,145917&-0,001232\\620&1,678618&0,103317&-0,000853\\625&1,488902&0,070786&-0,000616\\630&1,281392&0,047059&-0,000424\\635&1,086794&0,030367&-0,000277\\640&0,902187&0,018879&-0,000170\\645&0,729231&0,011256&-0,000102\\650&0,574425&0,006577&-0,000068\\655&0,443974&0,003729&-0,000040\\660&0,335226&0,002062&-0,000023\\665&0,246618&0,001153&-0,000011\\670&0,177974&0,000622&-0,000006\\675&0,129587&0,000328&-0,000006\\680&0,095349&0,000153&0,000000\\685&0,067107&0,000057&0,000000\\690&0,046313&0,000017&0,000000\\695&0,032322&0,000006&0,000000\\700&0,023185&0,000000&0,000000\\705&0,016551&0,000000&0,000000\\710&0,011816&0,000000&0,000000\\715&0,008386&0,000000&0,000000\\720&0,005916&0,000000&0,000000\\725&0,004181&0,000000&0,000000\\730&0,002938&0,000000&0,000000\\735&0,002040&0,000000&0,000000\\740&0,001407&0,000000&0,000000\\745&0,000972&0,000000&0,000000\\750&0,000678&0,000000&0,000000\\755&0,000480&0,000000&0,000000\\760&0,000339&0,000000&0,000000\\765&0,000237&0,000000&0,000000\\770&0,000170&0,000000&0,000000\\775&0,000119&0,000000&0,000000\\780&0,000085&0,000000&0,000000\end{pmatrix}}$

$\mathbf {M} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ Cette matrice est pour CIE1931

$\mathbf {CIE1931} ={\begin{pmatrix}0,49&0,17697&0\\0,31&0,81240&0,01\\0,20&0,01063&0,99\end{pmatrix}}$

Soit Mt la matrice transposée de M

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}$

RAPPEL : DANS TOUS MES TEXTES rbar,gbar,bbar ont les valeurs de rbar,gbar,bbar de CIE1931 divisées par 0,17697.
rbar=rbarCIE/0,17697
Pour l'exemple on considère V=V1924.
On part de l'identité (Id):
(Id) (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/(dr+eg+fb)
qui est vraie pour toutes valeurs de d,e,f

• DEMONSTRATION DE L'IDENTITE

Soit matdef la matrice vecteur colonne :

$\mathbf {matdef} ={\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$

On a par définition:
(a) (xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*Mt
On en extrait:
V1924=V=ybar=(rbar,gbar,bbar)*matdef (1)
Posons D=dr+eg+fb le dénominateur de (Id)
Alors D=(r,g,b)*matdef (2)
En remplaçant dans (Id),V et D par les valeurs (1) et (2)on obtient:
(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(rbar,gbar,bbar)*matdef/((r,g,b)*matdef)(3)
On a (r,g,b)=(rbar,gbar,bbar)n1 :n1 est la normalisation à l'unité.
On pose s=rbar+gbar+bbar:
Alors (r,g,b)=(1/s)*(rbar,gbar,bbar) donc (rbar,gbar,bbar)=s*(r,g,b) (4)
En remplaçant (rbar,gbar,bbar) par cette valeur s*(r,g,b) dans le 2ème membre de (3):

(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*s*(r,g,b)*matdef/(((r,g,b)*matdef)
Soit (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*s On retrouve (4) , donc (Id) est une IDENTITE.cqfd.

• Autre démonstration de (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D:

Par définition:(r,g,b)=(rbar,gbar,bbar)n1=(rbar,gbar,bbar)/s
soit rbar=sr gbar =sg bbar=sb
Par définition de ybar:V=ybar=(drbar+egbar+fbbar)=(dsr+esg+fsb)=Ds
Donc (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(Ds)/D=(r,g,b)s
On retrouve la définition de (rbar,gbar,bbar)

On a donc démontré que (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D est une IDENTITE.

• Partons en sens inverse pour construire l'identité Id

Il s'agit de trouver une formule permettant de calculer les inconnues rbar,gbar,bbar en fonction des données connues qui sont r,g,b. Pour le faire on utilise V la fonction de sensibilité de la vision humaine que l’on veut être une combinaison linéaire de (rbar,gbar,bbar) donc également de (r,g,b).
Donc V=drbar+egbar+fbbar combinaison linéaire.
On écrit :(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)s avec s=rbar+gbar+bbar
Puis en multipliant et divisant par D : (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(Ds)/D
Puis avec D=(dr+eg+fb) au numérateur : (rbar,bbar,gbar)=(r,g,b)*(drs+egs+fbs)/D
En remplaçant rs par rbar,sg par gbar et sb par bbar
On trouve : (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(drbar,egbar,fbbar)/D=(r,g,b)*V/D
On peut ainsi passer des fonctions (r,g,b) qui sont négatives à tour de rôle aux fonctions (rbar,gbar,bbar) dont seule gbar est toujours positive puis aux fonctions (x,y,z) qui sont toujours positives.

• JUSTIFICATIONS

BROADBENT page 10 :
Pour un spectre quelconque :
The luminance of the monochromatic light L(λ) is given by :
L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21)
L(λ) = Km E(λ) V(λ)=rbar*LR+gbar*LG+bbar*Lb (22)
where Km is a conversion constant equal to 683 lumen/W, E(λ) is the spectral distribution of radiant power of the light seen by the observer, and V(λ) the photopic efficacy function. Both E(λ) and V(λ) vary with wavelength.
Si on pose LR=kd LG=ke LB=kf et k=LR/d=LG/e=LB/f donc d+e+f=1 et
L(λ) = Km E(λ) V(λ)(21)=k(rbar*d+gbar*e+bbar*f)
n(λ)=Km E(λ)V(λ)/(LR*r(λ)+LG*g(λ)+LB*b(λ))(23)
L'équation (23) de BROADBENT s'écrit en multipliant numérateur et dénominateur par (r,g,b) :
et en remplaçant n(λ)*(r,g,b) par (rbar,gbar,bbar) de par leur définition
(rbar,gbar,bbar)=Km E(λ)V(λ)/(LR*r(λ)+LG*g(λ)+LB*b(λ)), pour un spectre quelconque.
Si on pose (d,e,f)=(LR,LG,LB)n1 soit (d,e,f)=(LR,LG,LB)*1/L avec L=(LR+LG+LB) et d+e+f=1.
Pour un spectre équi-énergétique (qui donne le blanc équi-énergétique EE) Km E(λ)=constante, et (LR+LG+LB)=L=constante : Si on prend Km E(λ)L=1
Alors :
(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)* V/(d*r+e*g+f*b)(23') cqfd

Pour un spectre quelconque, non équi-énergétique :

En particulier pour 3 raies correspondant aux 3 primaires :

L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21) valable pour R,G,B

TEXTE de Daniel METZ:
voir http://modele-cie-1931.blog-couleur.com/10L-espace-CIE-RGB Comment ces coefficients de luminance sont-ils obtenus ? Une fois dans le site cliquer sur : Lire la suite...
On en déduit alors que la proportion de luminance du rouge correspond à 0,17697. Puis les proportions de vert et de bleu sont obtenues par ajustements successifs depuis la fonction d’efficacité lumineuse relative V(λ) par la méthode des moindres carrés, soit : Luminance CIE-RGB = [0,17697 R] + [0,81240 G] + [0,01063 B]

Ce qu’il faut bien comprendre c’est que l’on prend ce spectre équi-énergétique Km E(λ)/k =1 pour l’ensemble du spectre de 360nm à 830nm qui donne le blanc EE et ensuite on considère la relation L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21) pour les 3 primaires, prises séparément, et que l’on mélange pour égaliser le blanc EE.

11.Relation entre r1g1b1 de WRIGHT et xyz de CIE1931

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.49&0.17697&0\\0.31&0.81240&0.01\\0.20&0.01063&0.99\end{pmatrix}}.$

Si (r,g,b)=((x,y,z)*Mt-1)n1
(r1,g1,b1)=(r,g,b)*QD0=((x,y,z)*(Mt-1))n1*QD0)n1=((x,y,z)*((Mt-1)*QD0))n1
Posons M1x=(Mt-1)*QD0
Alors (r1,g1,b1)=((x,y,z)*M1x)n1
Et (x,y,z)=((r1,g1,b1)*(M1x-1))n1
M1x-1 étant l'inverse de la Matrice M1x

$\mathbf {M1x=Mt^{-1}*QD0=} {\begin{pmatrix}1.076&-0.647&0.028\\-0.200&1.724&-0.076\\-0.186&0.063&1.218\end{pmatrix}}$

On a donc une relation biunivoque entre r1g1b1 et xyz

(r1,g1,b1)=((x,y,z)*M1x)n1
(x,y,z)=((r1,g1,b1)*(M1x-1))n1

comparaison diagramme r1dexbar et r1WRIGHT.

12. CALCULS DES COEFFICIENTS DE LA MATRICE Mt

Calcul de (rbar,gbar,bbar) avec(r,g,b)

RAPPEL : DANS TOUS MES TEXTES rbar,gbar,bbar ont les valeurs de rbar,gbar,bbar de CIE1931 divisées par 0,17697.

Pour faire les calculs on utilise un tableur.
On calcule D=(r,g,b)*matdef=dr+eg+fb avec par exemple pour commencer d=0.3 e=0.4 f=0.3
On calcule (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D de 360nm à 830nm. On fait varier d,e et f de façon à ce que les sommes des colonnes rbar,gbar,bbar soient égales à la somme de la colonne V:

• JUSTIFICATIONS

BROADBENT page 11:
Each of the color matching functions is integrated over the range of visible wawelengths...... The NPL standard white consists of the sum of the separate rbar,gbar,bbar color matching functions and there are equal,leading to equal chromaticity co-ordinates for this white light.

GUILD page 166:
The areas under the three distribution curves represent the relative contributions of the primaries in matching the standard white and should be equal....and also for the equal-energy spectrum...give a luminosity summation identical with the standard visibility curve.

Sellig Zed page 4.
L'ajustement aux moindres carrés d'une combinaison de rbar,gbar,bbar (donc de r,g,b qui seuls sont connus et tirés des tests 17 expérimentateurs de WRIGHT et GUILD ) proportionnelle à l'efficacité lumineuse V (connue)et prenant en compte cette condition d'égalité des intégrales (sommations) de rbar,gbar,bbar a permis à la CIE de montrer que, avec une précision satisfaisante : kV=0.17697rbar+0.81240gbar+0.01063bbar. On prend k=1.

On trouve facilement et rapidement les valeurs de d,e,f que l’on arrondit à d=0.17697 e=0.81240 f=0.01063

colorimétrie

ICI Calculs des coefficients d=0,17697 e=0,81240 f=0,01063 de la matrice Mt→

CIE1931 xyY 2° CMF -diagrammes (xbar,ybar,zbar)et(x,y,z)

Ensuite on pose xbar=a.rbar+b.gbar+c.bbar et zbar=g.rbar+h.gbar+i.bbar.

Pour un calcul global on construit la matrice M dont les lignes sont a,b,c et d,e,f et g,h,i
et on calcule :
(xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*Mt
et (x,y,z)=(xbar,ybar,zbar)n1 n1 étant la normalisation à l'unité.
n1=1/(xbar+ybar+zbar)

On fait varier a,b,c et g,h,i de façon à rendre toutes les valeurs de x,y,z positives ou nulles pour les tangentes au gamut(diagramme de chromaticité). Le terme médian e=0.8124 montre que la colonne d,e,f correspond au vert donc les termes diagonaux a et i sont prépondérants ; d'autre part a+b+c=d+e+f=g+h+i=1: on trouve facilement et en arrondissant a=0.49 b=0.31 c=0.2 g=0 h=0.01 i=0.99

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.49&0.17697&0\\0.31&0.81240&0.01\\0.20&0.01063&0.99\end{pmatrix}}.$

13. CALCUL DIRECT de x,y,z avec (r,g,b) : (x,y,z)=((r,g,b,)*Mt)n1

(x,y,z)=((r,g,b,)*Mt)n1

a/On calcule d'abord : (x1,y1,z1)=(r,g,b)*Mt
b/Puis n1=1/(x1+y1+z1) et (x,y,z)=(x1,y1,z1)*n1
c/ Y=V1924=V
On peut calculer X=xbar et Z=zbar avec ybar=V1924=Y, et Y/y=X/x=Z/z
xbar=x*V/y
zbar=z*V/y
Donc (xbar,ybar,zbar)=(x,y,z)*V/y
Et (x,y,z)=(xbar,ybar,zbar)n1 avec n1=1/(xbar+ybar+zbar)

14. RELATIONS ENTRE LES CMF - Calcul de L,M,S

Vlms=0.7 l+0.33 m+0.0075 s-V1924,V1978

La littérature sur la colorimétrie donne la matrice U suivante :

$\mathbf {U} ={\begin{pmatrix}1,89859&-1,39730&0,36162\\0,63586&0,39254&-0,00949\\0,00070&0,00329&1,78179\end{pmatrix}}$

$\mathbf {Ut-1} ={\begin{pmatrix}0,2402194003&-0,3891045663&0,0006250678\\0,8554625797&1,1617225027&-0,0024828309\\-0,0441973642&0,0851580661&0,5610942901\end{pmatrix}}$

(l,m,s)=(xbar,ybar,zbar)*Ut-1

Si on cherche une combinaison de l,m,s pour redonner V1924 on trouve :

Vlms=0,635857 l +0,392542 m -0,009491 s = V1924 à 10-6 prés.

donc avec le coefficient de s négatif, ce qui n’est pas réaliste...., aussi certains auteurs prennent ce coefficient=0(voir Robert Séve page 18).

En utilisant V1978 (JUDD&VOS) nous pouvons déterminer un coefficient positif:

En constatant que la somme des colonnes de V1924 et la somme des colonnes de V1978 sont égales à 21,3714 ce qui ne change rien à la détermination de d,e,f, en partant de V1924 ou de V1978, on calcule o,p,q de façon que o,p,q>0 avec V=ol+pm+qs et de façon que la somme des colonnes de Vlms=21,3714 donc donne les mêmes valeurs de d,e,f.

On trouve :

Vlms=0.7 l+0.33 m+0.0075 s

L=330 M=286 m S=55 s

15. Barycentre

15.1 Mélange de lumières calculé avec le diagramme de chromaticité CIE xy.

Lorsque deux ou plusieurs lumières sont mélangées de façon additive, les coordonnées chromatiques x et y de la lumière résultante (x mix , y mix ) peuvent être calculées à partir des coordonnées chromatiques des composants du mélange (x 1 , y 1 ; x 2 , y 2 , ... ; x n , y n ) et de leurs luminances correspondantes (L 1 , L 2 ,…, L n ) avec les formules ci-dessous
Ces formules peuvent être dérivées des définitions précédemment présentées des coordonnées de chromaticité x et y en tirant parti du fait que les valeurs du tristimulus X, Y et Z des composants individuels du mélange sont directement additives. Au lieu des valeurs de luminance (L 1 , L 2 , etc.), on peut alternativement utiliser toute autre quantité photométrique qui est directement proportionnelle à la valeur de Y (ce qui signifie naturellement que Y lui-même peut également être utilisé ). $$x_{\mathrm {mix} }={\frac {{\dfrac {L_{1}}{y_{1}}}x_{1}+{\dfrac {L_{2}}{y_{2}}}x_{2}+\dots +{\dfrac {L_{n}}{y_{n}}}x_{n}}{{\dfrac {L_{1}}{y_{1}}}+{\dfrac {L_{2}}{y_{2}}}+\dots +{\dfrac {L_{n}}{y_{n}}}}}\quad ,\quad y_{\mathrm {mix} }={\frac {{\dfrac {L_{1}}{y_{1}}}y_{1}+{\dfrac {L_{2}}{y_{2}}}y_{2}+\dots +{\dfrac {L_{n}}{y_{n}}}y_{n}}{{\dfrac {L_{1}}{y_{1}}}+{\dfrac {L_{2}}{y_{2}}}+\dots +{\dfrac {L_{n}}{y_{n}}}}}\quad ,\quad$$ Appelons L la luminance relative et L/y la luminance barycentrique. Les formules ci-dessus peuvent se traduire géométriquement en disant que la lumière résultante est le barycentre des lumières à additionner affectées du poids de leurs luminances barycentriques L1/y1,L2/y2,...,Ln/yn.

On démontre aisément que Lmix=L1+L2+...+Ln et Lmix/ymix=L1/y1+L2/y+...+Ln/yn.
En effet :
ymix=(L1+...+Ln)/(L1/y1+...+Ln/yn).
ymix(L1/y1+...+Ln/yn)=L1+...+Ln=Lmix.
Lmix/ymix=L1/y1+...+Ln/yn.
Lmix=L1+...+Ln

Donc cette lumière résultante sera affectée d'une luminance relative égale à la somme des luminances relatives des lumières à additionner et d'une luminance barycentrique égale à la somme des luminances barycentriques des lumières à additionner.

Lorsque deux lumières sont mélangées, la lumière résultante x mix , y mix se situera sur le segment de droite qui relie ces lumières sur le diagramme de chromaticité CIE xy.On applique les formules précédentes avec n=2.
Cette lumière résultante sera affectée d'une luminance relative égale à la somme des luminances relatives des 2 lumières à additionner et d'une luminance barycentrique égale à la somme des luminances barycentriques des 2 lumières à additionner.
On peut alors ajouter à cette lumière résultante, une nouvelle lumière et ainsi de suite...
Ce processus est particulièrement apte à être appliquer pour une construction géométrique du barycentre, sur le diagramme de chromaticité.
De chaque extrémité du segment de droite joignant A1 et A2 on trace des perpendiculaires au segment de directions inverses et on reporte les valeurs L1/y1 partant de A2 et L2/Y2 partant de A1 ; cela se dénomme la construction inversée.

15.2 Méthodes graphiques

Les méthodes graphiques ne peuvent s'appliquer que dans le cas du mélange de deux couleurs (notée ici P₁ et P₂). Le point mélange M est le barycentre des points P₁ et P₂ affectés des poids respectivement :

$D_{1}={\frac {Y_{1}}{y_{1}}}\ {\text{et}}\ D_{2}={\frac {Y_{2}}{y_{2}}}$.

• 1ère méthode

1. On trace des vecteurs de longueurs proportionnelles au poids D₁ et D₂ perpendiculairement à la droite (P₁P₂) et en sens inverse l'un par rapport à l'autre. Le vecteur de longueur proportionnelle à D₁ est associé au point P₂.
2. On relie par un segment les extrémités des deux vecteurs.
3. Le point M est situé à l'intersection avec le segment [P₁P₂].

• 2^e méthode

1. On trace, pour la couleur P₁, un vecteur d'ordonnée proportionnelle au poids D₁ et de direction (OP₁).
2. On fait de même pour la couleur P₂.
3. Puis en faisant la somme des deux vecteurs, on obtient un vecteur colinéaire à ${\vec {OM}}$.
4. Le point M est situé à l'intersection avec le segment [P₁P₂].

Début de l'exemple

Exemple

En prenant

$y_{2}=2\cdot y_{1}\ {\text{et}}\ Y_{2}={\tfrac {2}{3}}\cdot Y_{1}$,

alors

$D_{2}={\tfrac {1}{3}}\cdot D_{1}$.

Les tracés pour chaque méthodes sont représentés ci-dessous.

• 
  Illustration de la méthode 1
• 
  Illustration de la méthode 2

Fin de l'exemple

Ensuite on peut ajouter une nouvelle couleur à la couleur obtenue ci-dessus et ainsi de suite...

15.3 Exemple du barycentre de toutes les lumières du spectre

Lorsque l'on applique ces formules à toutes les lumières du spectrum locus de 360 à 830 nm, affectées de leurs luminances barycentriques Y/y dans un tableur, on trouve x=y=0,33... environ
Σx*Y/y=21,405 Σy*Y/y=ΣY=21,371 ΣY/y=64,303
x=(Σx*Y/y)/(ΣY/y)=0,3329 y=(Σy*Y/y)/(ΣY/y)=0,3324
Ce qui correspond au point W représentant le blanc EE équi-énergétique

15.4 Exemple de Adobe RGB

Gamut avec les Adobe RGB

Il s'agit d'un système colorimétrique développé par Adobe en 1998. Il propose un gamut élargi par rapport à l'espace sRGB.

Couleurs	Rouge R 608nm	Vert G 538nm	Bleu B 468nm	Blanc D65
Coordonnée x	0,640	0,210	0,150	0,3127
Coordonnée y	0,330	0,710	0,060	0,3290
Coefficient de luminance L	0,29734	0,62736	0,07529	total=1
Coef de luminance barycentrique L/y	0,29644	0,29071	0,41285	total=1

Calculs des coefficients de luminance barycentrique

On cherche les luminances barycentriques a,b,c (Y/y) des 3 primaires qui donnent le point W(D65) (x=0,3127,y=0,3290)(z=0,3590)br/> a=Lr/yr b=Lg/yg c=Lb/yb

Les formules donnant le barycentre des 3 primaires sont :
x=0,64 a+0,21 b+0,15 c=0,3127
y=0,33 a+0,71 b+0,06 c=0,3290
a+b+c=1
La résolution de ces 3 équations à 3 inconnues donne :
a=0,889332/3
b=0,872124/3
c=1,238544/3

yr*a=0,33*a=k*0,293479490572279/3
yg*b=0,71*b=k*0,619207839894145/3
yb*c=0,06*c=k*0,074312669533576/3

S=yr*a+yg*b+yb*c=k*0,987/3

yr*a/S=0,29734497=Lr
yg*b/S=0,62736356=Lg
yb*c/S=0,07529145=Lb

Ce sont bien les valeurs données par Adobe RGB (arrondies à 5 décimales)

La luminance visuelle du blanc sur un écran de référence est de 160,00 cd·m^-2 (X = 152,07=486,32x, Y = 160,00=486,32y, Z = 174.25=486,32z)

15.5 Exemple de sRGB

https://fr.wiktionary.org/wiki/diagramme_de_chromaticit%C3%A9 {| class="wikitable" style="align:center; text-align:center; width:60%;" |- ! scope="row" | Couleurs ! scope="col" |Rouge $\{R~612nm\}$ ! scope="col" |Vert $\{G~547nm\}$ ! scope="col" |Bleu $\{B~464,5nm\}$ ! scope="col" |Blanc $\{D{65}\}$ |----- ! scope="row" | Coordonnée x |0,64 |0,3 |0,15 |0,3127 |----- ! scope="row" | Coordonnée y |0,33 |0,6 |0,06 |0,3290 |----- ! scope="row" | Coefficient de luminance L |0,2126 |0,62736 |0,07529 |total=1 |----- ! scope="row" |Coef de luminance barycentrique L/y |0,2396 |0,3535 |0,4069 |total=1 |}

Vérification des coefficients de luminance barycentrique

Les luminances barycentriques a,b,c (Y/y) des 3 primaires donnent le point W(D65) (x=0,3127,y=0,3290)(z=0,3590)br/> a=k*Lr/yr b=k*Lg/yg c=k*Lb/yb
a+b+c=1 après normalisation à l'unité
On vérifie les formules donnant le barycentre des 3 primaires :
x=0,64a+0,3b+0,15c=0,3127
y=0,33a+0,6b+0,06c=0,3290

15.6 CIE RGB

Quand on place la nuit, 2 ou 3 chandelles dans un candélabre leur luminance est 2 ou 3 fois la luminance d'une chandelle (Pierre Bouguer 1729)

La LUMINANCE RELATIVE notée Y ou ybar ou L est, dans les conditions de CIE RGB, égale à la fonction de sensibilité de la vision V=V1924, dont le maximum est 1 pour 555nm. La courbe V(λ) a une forme de cloche (gaussienne) avec des valeurs faibles vers les bleus et encore plus faibles vers les rouges. L'inverse de V soit 1/V quantifie le nombre de photons donc l'énergie nécessaire E pour produire la même sensation de luminosité que le vert de 555nm. 1/V a un minimum de 1 pour 555nm et prend des valeurs très grandes vers les rouges et les bleus donc il faut beaucoup de photons donc d'énergie pour ces lumières pour donner la même sensation de luminosité que les verts. Voyons ce qu'il en est pour les primaires de CIE RGB. Pour le vert de 546,1nm et pour l'énergie E, V est légèrement plus faible soit 0,9835 que pour 555nm. Les couleurs de ces lumières très lumineuses sont très claires. Pour le bleu de 435,8nm et pour la même énergie E, la valeur de V de 0,0178 est faible, et cette lumière a une couleur sombre. Pour le rouge de 700nm et pour l'énergie E la valeur de V de 0,0041 est très faible, donc cette lumière a une couleur très foncée, donc un rouge virant vers le noir. Si on considère le centre de gravité des valeurs de V, on voit qu'il est très proche de la primaire verte, et si on considère le centre de gravité des valeurs de V/y on voit qu'il est proche du milieu des primaires bleue et verte. Nous verrons un peu plus loin comment cette question est résolue.

Gamut avec les primaires CIE RGB

Couleurs	Rouge R700	Vert G546,1	Bleu B435,8	cdg V	cdg V/y
Coordonnée x	0,7347	0,2736	0,1665	0,2736	0,2125
Coordonnée y	0,2653	0,7173	0,0089	0,7029	0,2971
Valeurs de V	0,004100	0,983523	0,017826
Coefficients de V	0,004078	0,978193	0,017729	total=1
Coefficients de V/y	0,0046	0,4052	0,5903	total=1

15.7 Calcul des luminances des primaires de tout système

Couleurs	Rouge $\{R\}$	Vert $\{G\}$	Bleu $\{B\}$	Blanc $\{W\}$
Coordonnée x	x1	x2	x3	x4
Coordonnée y	y1	y2	y3	y4
Luminance L	ay1	by2	cy3	Somme
Coef Luminance barycentrique	a	b	c	1

La formule du barycentre des primaires est pour les x :
x4=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c)
a+b+c=1

c=1-a-b x4= ax1+bx2+(1-a-b)x3
a(x1-x3)+b(x2-x3)=x4-x3
De même pour les y :
a(y1-y3)+b(y2-y3)=y4-y3
Le système de 2 équations aux 2 inconnues a et b donne :
a=((x4-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y4-y3)/((y2-y3)(x1-x3)-(x2-x3)(y1-y3))
b=((x4-x3)(y1-y3)-(x1-x3)(y4-y3)/((y1-y3)(x2-x3)-(x1-x3)(y2-y3))

15.7.1 Exemple de calculs des luminances des primaires CIE RGB

On a vu que les valeurs de V pour les primaires RGB ne sont pas intéressantes. On va résoudre ce problème en calculant les luminances barycentriques pour qu'elles donnent le blanc d'égale énergie W de coordonnées 1/3. Et ce point est sans doute le plus important du problème.

Couleurs	Rouge R700	Vert G546,1	Bleu B435,8	Blanc W
Coordonnée x	0,7347	0,2736	0,1665	1/3
Coordonnée y	0,2653	0,7173	0,0089	1/3
Coef luminance barycentrique L/y	a	b	c	total=1
Luminance L	ay1	by2	cy3	Somme

On trouve a=0,2225-b=0,3775 donc c=0,4000.

Couleurs	Rouge R700	Vert G546,1	Bleu B435,8	Blanc W=D65
Coordonnée x	0,7347	0,2736	0,1665	1/3
Coordonnée y	0,2653	0,7173	0,0089	1/3
Coef luminance barycentrique L/y	0,2225	0,3775	0,4000	total=1
coefficients de luminance L	0,17707	0,81226	0,01068	total=1

On retrouve bien la formule classique à la précision des calculs près.
Y= 0,17697*R+0,81240*G+0,01063*B.
La luminance de la primaire rouge( 700 nm) est 0,17697.
La luminance de la primaire verte(546,1nm) est 0,81240.
La luminance de la primaire bleue(435,8nm) est 0,01063.
QUELLES SONT LES LUMINANCES DES AUTRES LUMIERES MONOCHROMATIQUES DU SPECTRUM LOCUS EQUI-ENERGETIQUE ?

15.7.2 Exemple de calculs des luminances des primaires CIE XYZ

Couleurs	Rouge $\{X\}$	Vert $\{Y\}$	Bleu $\{Z\}$	Blanc $\{W\}$
Coordonnée x	1	0	1	1/3
Coordonnée y	0	1	0	1/3
Coef luminance barycentrique Y/y	a	b	c	total=1
Luminance Y	ay1	by2	cy3	Somme

On trouve a=0,333-b=0,333 donc c=0,333

Couleurs	Rouge $\{X\}$	Vert $\{Y\}$	Bleu $\{Z\}$	Blanc $\{W\}$
Coordonnée x	1	0	0	1/3
Coordonnée y	0	1	0	1/3
Coef luminance barycentrique L/y	0,333	0,333	0,333	total=1
coefficients de luminance L	0	1	0	total=1

15.7.3 Exemple de calculs des luminances des primaires de WRIGHT

Couleurs	Rouge $\{R650\}$	Vert $\{G530\}$	Bleu $\{B460\}$	Blanc $\{W\}$
Coordonnée x	0,7261	0,1549	0,1440	1/3
Coordonnée y	0,2737	0,8056	0,0299	1/3
coef Luminance barycentrique	a	b	c	total=1
Luminance	a*yr	b*yg	c*yb	Somme

La résolution du système des 2 équations donne a= 0,3198 b=0,2907 c=0,3895

Couleurs	Rouge $\{R650\}$	Vert $\{G530\}$	Bleu $\{B460\}$	Blanc $\{W\}$
Coordonnée x	0,7261	0,1549	0,1440	1/3
Coordonnée y	0,2737	0,8056	0,0299	1/3
Coef luminance barycentrique	0,3198	0,2907	0,3895	total=1
coefficients de luminance	0,26256	0,7025	0,03493	total=1

c'est juste et vérifié.

16. Rapport des luminances de 2 lumières

Pour calculer le rapport de mélange des lumières des composants x 1 , y 1 et x 2 , y 2 qui donne une lumière xmix , y mix sur ce segment de droite, on peut utiliser la formule.

$${\frac {L_{1}/y1}{L_{2}/y2}}={\frac {\left(x_{2}-x_{\mathrm {mix} }\right)}{\left(x_{\mathrm {mix} }-x_{1}\right)}}={\frac {\left(y_{2}-y_{\mathrm {mix} }\right)}{\left(y_{\mathrm {mix} }-y_{1}\right)}}$$

où L 1 est la luminance de la lumière x 1 , y 1 et L 2 la luminance de la lumière x 2 , y 2 . Notez que parce que y mix est déterminé sans ambiguïté par x mix et vice versa, il suffit de connaître l'un ou l'autre d'entre eux pour calculer le rapport du mélange L 1 / L 2. A noter également que, conformément aux remarques concernant les formules pour x mix et y mix , le rapport du mélange L 1 / L 2 peut très bien s'exprimer en termes d'autres quantités photométriques,ce qui signifie naturellement que Y lui-même peut également être utilisé.

colorimétrie

16.1 Détermination des luminances des primaires expérimentales de WRIGHT

WRIGHT a étalonné ses primaires de façon à ce que le rouge de 650 nm et le vert de 530 nm donnent un jaune de 582,5 nm et que le vert de 530 nm et le bleu de 460 nm donnent un cyan de 494 nm

a/Pour le jaune :
On calcule les coordonnées (xmix,ymix) de l'intersection Ij de 2 droites passant par 2 points chacune, R650 ET G530 pour l'une et B460 et J582,5 pour l'autre.
On trouve Ij (0,522-0,463)
On calcule les luminances barycentriques (L/y), lg de G530(y1=0,805) et lr de R650(y2=0,273)qui donnent Ij.
lg/lr=(y2-ymix)/(ymix-y1)=(0,273-0,463)/(0,463-0,805)=0,554

b/Pour le cyan :
On calcule les coordonnées (xmix,ymix) de l'intersection Ic de 2 droites passant par 2 points chacune, R650 et C494 pour l'une et B460 et G530 pour l'autre.
On trouve Ic (0,149-0,369)
On calcule les luminances barycentriques (L/y), lb de B460(y1=0,0298) et lg de G530(y2=0,805) qui donnent Ic.
lb/lg=(y2-ymix)/(ymix-y1)=(0,805-0,369)/(0,369-0,0298)=1,286

c/lg/lr=0,554 - lb/lg=1,286
On prend lr=1. Alors lg=0,554 et lb=1,286*0,554=0,712
Soit 0,442 - 0,246 et 0,312 en valeurs relatives des luminances barycentriques
Le barycentre de ces 3 primaires a pour coordonnées (0,4040-0,3285)
Comment expliquer que l'on ne retrouve pas les valeurs du calcul plus loin, des luminances des primaires de WRIGHT ?

colorimétrie

Couleurs	Rouge R 650nm	Vert G 530nm	Bleu B 460nm	Blanc W
Coordonnée x	0,7261	0,1549	0,1440	0,4040
Coordonnée y	0,2737	0,8056	0,0299	0,3285
Coef de luminance barycentrique	0,442	0,246	0,312	total=1
coefficients de luminance	0,369	0,603	0,028	total=1

Ceci n'a rien à voir avec le mélange des primaires pour donner le blanc NPL
Soit : 0,243 0,410 0,347
qui résulte des résultats des 36 expérimentateurs de WRIGHT
ni de notre détermination du meilleur mélange
Soit m0=(0,23- 0,38-0,39)
C'est l'étalonnage des lumières tests
C'est juste et vérifié et cela montre l'intérêt des luminances barycentriques qui permettent de voir sur le diagramme de chromaticité ce que peut donner le mélange de lumières donc de couleurs de façon immédiate alors que les luminances, faible pour le rouge et très faible pour le bleu, ne montrent pas grand chose. La colorimétrie a été faite pour comprendre la combinaison des lumières : La luminance barycentrique s'y prête particulièrement bien et ceci doit être souligné.

17. Addition de lumières

Ce que je recherche, c'est par exemple, étant données 2 longueurs d'onde λ1 et λ2 de couleurs c1 et c2, déterminer la longueur d'onde λ et la couleur c résultantes dans le diagramme de chromaticité CIE1931 xyY 2°,équi-énergétique.
Il faut bien noter que cette recherche doit se faire dans un gamut défini, par exemple celui de WRIGHT ou celui d'ADOBE sRGB par exemple.

J'ai déterminé les luminances (0.441,0.244,0.314) des lumières étalons(650,530,460nm) de WRIGHT. Il faudrait que j'aille plus loin, par exemple retrouver les valeurs de (r1,g,b1).
On part du rouge à 650nm et lr=0.442 avec r1=1,g1=0,b1=0.
Entre 650nm et 530nm le diagramme xy est proche d'une droite.
On recherche la quantité de bleu pour avoir la lumière à 640nm.
Ou plus exactement on recherche la quantité b de bleu qu'il faut ajouter à la lumière monochromatique de 640nm pour égaliser le mélange de g vert et r rouge.

17.1 Exemple de calcul des (r1,g1,b1) résultants des essais des 10 expérimentateurs de WRIGHT avec le diagramme de chromaticité xy de CIE1931 2°

Nous avons précédemment calculé les coefficients de luminances barycentriques des 3 primaires de WRIGHT soit lr=0,442 pour R-650nm, lg=0,244 pour G-530nm et lb=0,314 pour B-460nm.
Soient xi,yi,li pour i=r,g,b,λ,I, les coordonnées x,y du diagramme de chromaticité et lr,lg,lb les coefficients de luminances barycentriques, pour les 3 primaires, et lλ pour la lumière monochromatique λ et lI pour le point I.
Pour 460<λ<530nm (situé dans les cyans), I est l'intersection du segment reliant 460-530nm avec le segment reliant 650nm au point représentatif de la lumière λ.
Pour ce point I mélange des primaires verte G et bleue B, on peut écrire :
xI*(lg+lb)=g*xg*lg+b*xb*lb.
yI*(lg+lb)=g*yg*lg+b*yb*lb.
Ce qui donne :
g= ((yb*xI-xb*yI)/(yb*xg-xb*yg))*((lg+lb)/lg)
b= ((yg*xI-xg*yI)/(yg*xb-xg*yb))*((lg+lb)/lb)
Pour passer de g à b on échange g et b.
I peut être aussi obtenu en mélangeant la lumière monochromatique λ avec la primaire rouge de 650nm.
En tant que métamère la résultante I a une luminance barycentrique lI=lr+lλ=lg+lb.
On peut écrire :
xI*(lg+lλ)=r*xr*lr+k*xλ*lλ.
yI*(lg+lλ)=r*yg*lg+k*yλ*lλ.
Ce qui donne :
r= ((yλ*xI-xλ*yI)/(yλ*xr-xλ*yr))*((lg+lb)/lr)
k*lλ= ((yr*xI-xr*yI)/(yr*xλ-xr*yλ))*((lg+lb)/lr)
lI=lg+lb et lλ=lg+lb-lr=1-2lr quelque soit λ compris entre 460 et 530nm. Donc lI=0,558 et lλ=0,116 sont constants.
Pour 530<λ<650nm (situé dans les jaunes), I est l'intersection du segment reliant 650-530nm avec le segment reliant 460nm au point représentatif de la lumière λ.
Pour ce point I mélange des primaires verte G et rouge R, on peut écrire :
xI*(lg+lr)=g*xg*lg+r*xr*lr
On voit que par rapport aux cyans, on obtient les formules en échangeant b et r.

En faisant les calculs de r,g,b pour toutes les valeurs de λ, on retrouve les valeurs de r1,g1,b1 avec (r1,g1,b1)=(r,g,b)n1, valeurs de r,g,b normalisées à l'unité.
La valeur de k montre l'importance de lλ dans le mélange donc la faible valeur de b le coefficient de la lumière primaire bleue.
Reste à voir lorsque λ<460nm et λ>650nm.

Qu'est-ce que cela donne si on l'applique aux primaires de CIE1931 ?

17.2 Exemple des primaires CIE1931

Nous avons précédemment calculé les coefficients des luminances barycentriques des 3 primaires de CIE1931 et compte tenue de la précision nous les avons corrigés avec les coefficients de luminance relative 0,17697-0,81240 et 0,01063 soit lr=0,21323 pour R-700nm, lg=0,36203 pour G-546,1nm et lb=0,42474 pour B-435,8nm.

Couleurs	Rouge R700	Vert G546,1	Bleu B435,8	Blanc W
Coordonnée x	0,7347	0,2736	0,1665	1/3
Coordonnée y	0,2653	0,7173	0,0089	1/3
Coef luminance barycentrique Y/y	0,222	0,378	0,400	total=1
coefficients de luminance Y	0,17697	0,81240	0,01063	total=1

Soient xi,yi,li pour i=r,g,b,λ,I, les coordonnées x,y du diagramme de chromaticité et lr,lg,lb les coefficients de luminances barycentriques, pour les 3 primaires, et lλ pour la lumière monochromatique λ et lI pour le point I.
Pour 435,8<λ<546,1nm (situé dans les cyans), I est l'intersection du segment reliant 435,8-546,1nm avec le segment reliant 700nm au point représentatif de la lumière λ.
Pour ce point I mélange des primaires verte G et bleue B, on peut écrire :
xI*(lg+lb)=g*xg*lg+b*xb*lb.
yI*(lg+lb)=g*yg*lg+b*yb*lb.

Ce qui donne :
g= ((yb*xI-xb*yI)/(yb*xg-xb*yg))*((lg+lb)/lg)
b= ((yg*xI-xg*yI)/(yg*xb-xg*yb))*((lg+lb)/lb)
Pour passer de g à b on échange g et b.
I peut être aussi obtenu en mélangeant la lumière monochromatique λ avec la primaire rouge de 700nm.
En tant que métamère la résultante I a une luminance barycentrique lI=lr+lλ=lg+lb.
On peut écrire :
xI*(lg+lλ)=r*xr*lr+k*xλ*lλ.
yI*(lg+lλ)=r*yg*lg+k*yλ*lλ.
Ce qui donne :
r= ((yλ*xI-xλ*yI)/(yλ*xr-xλ*yr))*((lg+lb)/lr)
Pour passer de g à r on échange g et r d'une part et b et λ d'autre part car (lg+lb)/lg devient (lr+lλ)/lr et comme lr+lλ=lg+lb c'est ok
k*lλ= ((yr*xI-xr*yI)/(yr*xλ-xr*yλ))*((lg+lb)/lr)
lI=lg+lb et lλ=lg+lb-lr=1-2lr quelque soit λ compris entre 435,8 et 546,1nm. Donc lI=0,558 et lλ=0,116 sont constants.
Pour 546,1<λ<700nm (situé dans les jaunes), I est l'intersection du segment reliant 700-546,1nm avec le segment reliant 435,8nm au point représentatif de la lumière λ.
Pour ce point I mélange des primaires verte G et rouge R, on peut écrire :
xI*(lg+lr)=g*xg*lg+r*xr*lr
On voit que par rapport aux cyans, on obtient les formules en échangeant b et r.

En faisant les calculs de r,g,b pour toutes les valeurs de λ, on retrouve les valeurs de r1,g1,b1 avec (r1,g1,b1)=(r,g,b)n1, valeurs de r,g,b normalisées à l'unité. Les valeurs de r1,g1,b1 sont pratiquement identiques à celles de r,g,b de CIE1931.
La valeur de k montre l'importance de lλ dans le mélange donc la faible valeur de b le coefficient de la lumière primaire bleue.
Reste à voir lorsque λ<435,8nm et λ>700nm.

Remarque : La formule de xI peut s'écrire :
xI*lI=g*xg*lg+b*xb*lb
l=Y/y
xI*YI/yI=g*xg*Yg/yg+b*xb*Yb/yb
Ce qui peut s'écrire :
xbarI=g*xbarg+b*xbarb
de même yI*YI/yI=g*yg*Yg/yg+b*yb*Yb/yb
ybarI=g*ybarg+b*ybarb
yI*lI=g*yg*lg+b*yb*lb
Et YI=g*Yg+b*Yb C'est bizarre : Cela exprime que la luminance de la lumière du point I provient d'une proportion b de la luminance de la primaire bleue B435,8 et d'une proportion g de la luminance de la primaire verte G546,1 ce qui semble plausible et que nous admettrons d'autant plus que cela donne un résultat valable et juste. Cela semble correspondre au principe des mesures de WRIGHT où l'on note les valeurs des rhéostats par rapport aux valeurs étalonnées à 1 des primaires Pour g=0 <, b=1. Pour b=0 g=1. Pour g=b(=0,5) λ=494nm... Il y a des vérifications à faire.
Il faut noter que ces formules sont plus faciles à écrire sur papier en mettant une barre sur les x et y à la place des écritures xbar et ybar : Nous allons remplacer xbar et ybar par X et Y qui leur sont égales
XI=g*Xb+b*Xb et YI=g*Yg+b*Yb donnent :
g=(Yb*XI-Xb*YI)/(Yb*Xg-Xb*Yg)
Pour passer de g à b on échange g et b
b=(Yg*XI-Xg*YI)/(Yg*Xb-Xg*Yb)
Pour passer de b à r on échange b et r
r=(Yg*XI-Xg*YI)/(Yg*Xr-Xg*Yr)

J'ai un gros doute sur cette formulation ! Ne devrai-je pas écrire :
xI*(lg+lb)=xg*lg+xb*lb.
yI*(lg+lb)=yg*lg+yb*lb.
Les inconnues seraient alors lg et lb
xI(lg+lb)=xg*lg+xb*lb
yI(lg+lb)=yg*lg+yb*lb
lg(xI-xg)=lb(xb-xI)
lg/lb=(xb-xI)/(xI-xg)=(yb-yI)/(yI-yg) : c'est la formule du rapport des luminances vue en 16
On vérifiera ce rapport après calcul de g et b

18. REMARQUE sur l'utilisation de Y et sur les luminances

Il est à noter qu'en général les luminances sont plutôt données sous la forme de coefficients de luminance normalisés à l'unité dont le total est 1. Nous distinguerons la luminance relative genre l= a rbar + b gbar +c bbar de la luminance barycentrique L=l/y qui permet de calculer le mélange de lumières. Y= ybar = 0.17697 rbar+ 0.81240 gbar+ 0.01063 bbar = V1924 est la luminance relative du spectrum locus équi-énergétique. Ses coefficients sont bien connus car ils ont été maintes fois calculés suivant différentes méthodes (voir mes calculs) et utilisés dans les calculs de xyY. C'est une entité mathématique qui a servi à faire entrer V1924 dans le système colorimétrique et qui ne s'applique qu'aux primaires NPL mais ensuite qui n'intervient plus dans les différents systèmes réels et réalistes genre Adobe sRGB. L'important ensuite est d'étudier un système particulier genre Adobe sRGB et de ne plus penser à Y. Nous notons l=L/y pour la luminance barycentrique car c'est elle la fonction importante et L la luminance relative qui représente la luminosité. Et en général ce sont les coefficients de luminance qui nous intéressent donc les coefficients de luminance relative n'ont qu'une valeur relative.

La définition du système colorimétrique CIE xyY a introduit la notion de luminance Y, intensité lumineuse subjective indépendante de la couleur.
CIE 1931-2° xyY: Y= 0.17697 rbar+ 0.81240 gbar+ 0.01063 bbar = V1924
si on prend rbarCIE1931 la formule devient YCIE= 1 rbarCIE+0,81240/0,17697 gbarCIE+0,01063 /0,17697 bbarCIE qui normalisée à l'unité redonne bien Y
Penser à faire le changement de rbar,gbar,bbar dans mon texte par rber,gber,bber en faisant un copier-coller dans libre office writer et un échange

Cette luminance peut être appelée la luminance (tout court)(voir Robert Sève:page 4/19).
Y/y=X/x=Z/z=X+Y+Z est appelée la luminance relative (voir Robert Sève:page 5/19). On peut ajouter barycentrique car elle permet de calculer le mélange des lumières.
Il est aussi défini:
L(λ)=k. V1924(λ).S(λ).
Cette luminance peut être appelée la luminance absolue.
VOIR BROADBENT page 10.
Ces deux fonctions L et Y sont différentes contrairement à ce que dit la contribution CIEXYZ qui les considère comme égales ce qui est faux pour une lumière équi-énergétique.
Le texte de Robert Sève (et ALASJOURN) cité en référence 8 est juste.
On peut cependant lui faire un reproche sur des simplifications de langage et de symboles qui ne peuvent amener que des incompréhensions. Cette ambiguïté ne se retrouve pas dans les textes de WRIGHT, GUILD et BROADBENT.
Cette ambiguïté demande correction.
Il s'agit de l'emploi de X,Y,Z pour 4 quantités différentes.
C=X.[X]+Y.[Y]+Z.[Z] page 9/19 de la référence 8.
La bonne formulation serait :
C=a.Xp+b.Yp+c.Zp p pour primaires.
Y=0.17697 R+0.8124 G+0.01063 B page 5/19 de la référence 8.
Il est à remarquer que WRIGHT et GUILD notent alpha pour R,beta pour G et gamma pour B.
dans C=alphaR+betaG+gammaB (WRIGHT page 142-1928-29).
et Q=a.R+b.G+c.B pour GUILD (GUILD page 157).
Dans les tableaux de WRIGHT ces coefficients n'ont pas de noms et sont notés trichromatic coefficients (page 211-1930) et dans ceux de GUILD ces noms sont compliqués genre ualambda (page 185).
BROADBENT note rbar pour R, gbar pour G et bbar pour B, ce qui est plus clair.
Donc en fait la bonne formulation serait :
X=0.49 rbar+0.31 gbar+0.2 bbar
Y=0.17697 rbar+0.8124 gbar+0.1063 bbar Y est la LUMINANCE(tout court)
Z=0 rbar+0.01 gbar+0.99 bbar
Ya=683*I*V1924 est la LUMINANCE ABSOLUE.
Il y a aussi:

$Y=k.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {y}}(\lambda ).S(\lambda ).\mathrm {d} \lambda$

Pour une lumière équi-énergétique (S=constante), cette intégrale représente une aire donc une valeur numérique.
On a donc vu l'emploi ambigu de Y pour Ya (LUMINANCE ABSOLUE). 1ère fois.
[Y] pour la primaire 546.1nm. 2ème fois.
Y pour l'intégrale. 3ème fois.
et Y pour la LUMINANCE(tout court) Y=0.17697 rbar+0.81240 gbar+0.01063 bbar. 4ème fois.
Donc cet emploi de Y pour 4 fonctions différentes est à éviter.

Remarque importante

$\scriptstyle \ \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ interprétée comme l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction Modèle:Math, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses Modèle:Math et Modèle:Math

COURS de MATHEMATIQUES

$AIRE=\int \limits _{a}^{b}{f}(x).\mathrm {d} x$

Soit :

${\begin{cases}Xs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Ys=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Zs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$

Gamut du système CIE xyY

Ces 3 intégrales permettent 3 formulations :

• 1°/Si λ2-λ1=dλ ⇒0

alors :

${\begin{cases}Xs=k.{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda )\\Ys=k.{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda )\\Zs=k.{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda )\end{cases}}.$

Alors si :$S=Xs+Ys+Zs$
et si :${\overline {s}}={\overline {x}}+{\overline {y}}+{\overline {z}}$

$x=Xs/S={\overline {x}}/{\overline {s}}$

$y=Ys/S={\overline {y}}/{\overline {s}}$

$z=Zs/S={\overline {z}}/{\overline {s}}$

$(x,y,z)$ représentent les coordonnées d'un point situé sur le spectrum locus du GAMUT (le lieu du spectre) et correspondant à :λ=λ1=λ2.

$V1924={\overline {y}}(\lambda )$

$Ys=Ya=k.V1924.I(\lambda )$

The luminance of the monochromatic light L(λ) is given by L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21) where Km is a conversion constant equal to 683 lumen/W, E(λ) is the spectral distribution of radiant power of the light seen by the observer, and V(λ) the photopic efficacy function. Both E(λ) and V(λ) vary with wavelength.
VOIR BROADBENT page 10:
Ya, intensité lumineuse subjective indépendante de la couleur est la luminance qui peut être appelée la luminance absolue, d'où l'indice a.
Soit :

$Ya(555nm)=683.V1924(555).I(555)$

$Ya(\lambda )=683.V1924(\lambda ).I(\lambda )$

On calcule :

$V1924(\lambda )=Ya(\lambda )/683.I(\lambda )$

$V1924(555)=Ya(555)/683.I(555)$

On mesure I(λ) avec le photométre à scintillements (flicker photometer) pour que les scintillements disparaissent en partant de λ=555 nm

$V1924(\lambda )/V1924(555)=I(555)/I(\lambda )$

On prend :

$V1924(555)=1$

et :

$I(555)=K$

Alors :

$V1924(\lambda )=K/I(\lambda )$

C'est le principe du calcul de V1924(λ) qui est inversement proportionnelle à la mesure de I(λ).
Since we want to plot a spectral sensitivity function derived by heterochromatic flicker photometry the dependent variable (radiance of the chromatic field that gave minimum flicker) has to be divided into 1.0. This gives us the reciprocal of the radiance which is the standard way of representing psychophysically derived sensitivity. When this reciprocal of radiance is plotted as a function of wavelength one has a photopic spectral sensitivity function.
Frederik IVES 1900.

• 2°/Si on considère 2 limites d'intégration λ1 et λ2 :

${\begin{cases}Xs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Ys=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Zs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$

alors si :$Ss=Xs+Ys+Zs$
alors :

$xi=Xs/Ss$

$yi=Ys/Ss$

$zi=Zs/Ss$

(xi,yi,zi) représentent les coordonnées d'un point intérieur au gamut situé entre les points représentant λ1 et λ2.

• 3°/Si cette intégration se fait de 360nm à 830nm .

alors λ1=360nm et λ2=830nm
Pour un spectre équi-énergétique :I(λ)=Constante
Alors ces intégrations de 360nm à 830nm donnent une même valeur numérique disons N.

${\begin{cases}N=k.\int \limits _{360~nm}^{830~nm}{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\N=k.\int \limits _{360~nm}^{830~nm}{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\N=k.\int \limits _{360~nm}^{830~nm}{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$

alors : xW=yW=zW=N/3N=1/3 Les coordonnées du blanc sont (1/3,1/3,1/3)
RAPPEL : DANS TOUS MES TEXTES rbar,gbar,bbar ont les valeurs de rbar,gbar,bbar de CIE1931 divisées par 0,17697.
CIE 1931-2° xyY : Y=0.17697rbar+0.81240gbar+0.01063bbar=V(λ)
Cette luminance peut être appelée la luminance (tout court).
Voir Robert Sève : Formules des pages 4,5, et 16.

Y/y=X/x=Z/z=X+Y+Z est appelée la luminance relative. Voir Robert Sève : page 5
On peut ajouter barycentrique car elle permet de calculer le mélange des lumières

LES FONCTIONS Y , Ys et Ya NE SONT PAS LES MÊMES,
CE QUI REND TOUT LE TEXTE DE LA CONTRIBUTION de WIKIPEDIA CIE XYZ COMPLETEMENT INCOMPREHENSIBLE,
SI ON REPRESENTE CES 3 FONCTIONS PAR Y.

20. Table xbar,ybar,zbar

Pour avoir les valeurs de xbar,ybar,zbar, faire copier en mode lire et coller dans votre feuille de TABLEUR

Valeurs tabulées des fonctions colorimétriques : observateur de référence CIE 1931

$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {x}}$	$\scriptstyle {\overline {y}}$	$\scriptstyle {\overline {z}}$	$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {x}}$	$\scriptstyle {\overline {y}}$	$\scriptstyle {\overline {z}}$
380	0,001368	0,000039	0,006450	580	0,916300	0,870000	0,001650
385	0,002236	0,000064	0,010550	585	0,978600	0,816300	0,001400
390	0,004243	0,000120	0,020050	590	1,026300	0,757000	0,001100
395	0,007650	0,000217	0,036210	595	1,056700	0,694900	0,001000
400	0,014310	0,000396	0,067850	600	1,062200	0,631000	0,000800
405	0,023190	0,000640	0,110200	605	1,045600	0,566800	0,000600
410	0,043510	0,001210	0,207400	610	1,002600	0,503000	0,000340
415	0,077630	0,002180	0,371300	615	0,938400	0,441200	0,000240
420	0,134380	0,004000	0,645600	620	0,854450	0,381000	0,000190
425	0,214770	0,007300	1,039050	625	0,751400	0,321000	0,000100
430	0,283900	0,011600	1,385600	630	0,642400	0,265000	0,000050
435	0,328500	0,016840	1,622960	635	0,541900	0,217000	0,000030
440	0,348280	0,023000	1,747060	640	0,447900	0,175000	0,000020
445	0,348060	0,029800	1,782600	645	0,360800	0,138200	0,000010
450	0,336200	0,038000	1,772110	650	0,283500	0,107000	0,000000
455	0,318700	0,048000	1,744100	655	0,218700	0,081600	0,000000
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$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {x}}$	$\scriptstyle {\overline {y}}$	$\scriptstyle {\overline {z}}$	$\scriptstyle \lambda \ \mathrm {(nm)}$	$\scriptstyle {\overline {x}}$	$\scriptstyle {\overline {y}}$	$\scriptstyle {\overline {z}}$
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