Collisions élastiques

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Mécanique classique

 

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Les objectifs de cette leçon étaient de pouvoir déterminer une expression de la quantité de mouvement résultant d'un choc (élastique, inélastique ou parfaitement inélastique).

Les prérequis conseillés étaient : trigonométrie, produit vectoriel, quantités de mouvement.

Choc unidimensionnel

Collision élastique de masses égales dont une au repos.

On considère une collision frontale et parfaitement élastique entre deux billes de masses m1 et m2 et de vitesses v1 et v2 . On pose m = m1 / m2. Il y a conservation de la quantité de mouvement et comme le choc est élastique, il y a aussi conservation de l’énergie.

On obtient donc :$\left\{{\begin{matrix}m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}{v'}_{1}+m_{2}{v'}_{2}\\m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}{v'}_{1}^{2}+m_{2}{v'}_{2}^{2}\end{matrix}}\right.\,$

Ce qui, une fois resolu, donne : $\left\{{\begin{matrix}{v'}_{1}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1}+{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2}\\\\{v'}_{2}={\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{1}+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v_{2}\end{matrix}}\right.\,$

Dans le cas où les deux particules ont la même masse, $\cos(\alpha )=0$ soit $\alpha =\pi /2$

Cas en deux et trois dimensions

Dans le référentiel du centre d'inertie, les vitesses avant le choc sont ${\vec {u}}_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.{\vec {v}}$ et ${\vec {u}}_{2}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}.{\vec {v}}$, où ${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$, avec ${\vec {v}}_{i}$ la vitesse du corps n° i dans le référentiel initial. Après le choc, les vitesses sont ${\vec {w}}_{1}=u_{1}.{\vec {n}}$ et ${\vec {w}}_{2}=-u_{2}.{\vec {n}}$ où $\|{\vec {u}}_{i}\|=u_{i}$, et ${\vec {n}}$ un vecteur unitaire (de norme 1) dont la direction dépend de la loi d'interaction entre les particules et de leur position relative pendant le choc.