Cinématique des fluides/Exercices/Comparaison Euler - Lagrange

Nous allons étudier l'exemple très simplifié de la chute libre d'un fluide pour illustrer la différence d'approche.

Soit un robinet, de section de sortie circulaire S, ouvert depuis suffisamment longtemps pour que l'écoulement soit considéré permanent. L'eau, supposé être un fluide parfait et incompressible, s'écoule verticalement vers le bas en chute libre. Soit un repère orthonormé tel que l'origine O est au centre de la section de sortie du robinet et z l'axe vertical dirigé vers le bas. Soit t le temps.

L'accélération d'une particule d'eau à tout instant est dans ce cas :

${\overrightarrow {a}}={\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {g}}={\begin{pmatrix}0\\0\\g\end{pmatrix}}$.

On suppose que l’on connait à l'instant t = 0, la position de la particule ${\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\\z_{0}\end{pmatrix}}$ et sa vitesse ${\vec {v}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\\v_{0}\end{pmatrix}}$.

Les vitesses et accélérations étant nulles selon les axes x et y, on ne s'intéresse qu’à la composante en z.

1. Déterminer la vitesse du fluide en tout point de coordonnée z à l'aide d'une description lagrangienne.

Solution

Lagrange se place sur cette particule d'eau et l'intègre en fonction du temps :

$a={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\Rightarrow \int _{v_{0}}^{v}\mathrm {d} v=\int _{0}^{t}g.\mathrm {d} t\Rightarrow v-v_{o}=g.t$

$\Rightarrow v(z_{0},t)=g.t+v_{o}(z_{0})$ ;

$v={\dfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\Rightarrow \int _{z_{0}}^{z}\mathrm {d} z=\int _{0}^{t}(g.t+v_{o})\mathrm {d} t\Rightarrow z-z_{0}={\dfrac {1}{2}}g.t^{2}+v_{0}.t$

$\Rightarrow z(z_{0},t)={\dfrac {1}{2}}g.t^{2}+v_{0}.t+z_{0}$.

On connait alors la position de toute particule à l'instant t connaissant sa position z₀ et sa vitesse initiale v₀.

On peut alors, éventuellement, exprimer la vitesse en fonction de la position.

${\dfrac {1}{2}}g.t^{2}+v_{0}.t-(z-z_{0})=0$ ;

$\Delta =v_{0}^{2}+4{\dfrac {1}{2}}g(z-z_{0})>0\Rightarrow t={\dfrac {-v_{0}\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2g(z-z_{0})}}}{g}}$ ;

$\Rightarrow v=g{\dfrac {-v_{0}\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2g(z-z_{0})}}}{g}}+v_{0}$.

On ne garde que la solution positive :

$\Rightarrow v(z)={\sqrt {v_{0}^{2}+2g(z-z_{0})}}$.

 

2. Déterminer la vitesse du fluide en tout point de coordonnée z à l'aide d'une description eulérienne.

Solution

Euler "pose une caméra fixe" en un point de coordonée z et observe la vitesse du fluide qui s'écoule devant lui :

$a=g={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial v}{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial v}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v}{\partial z}}$.

Or :

${\frac {\partial v}{\partial t}}=0$, on est en régime permanent, la vitesse en un point ne varie pas ;

${\frac {\partial v}{\partial x}}=0$, et ${\frac {\partial v}{\partial y}}=0$, sur une même hauteur z, la vitesse est identique partout ;

$\displaystyle {v_{z}=v(z)}$, la vitesse n'a qu'une composante verticale qui ne dépend que de la hauteur z, ${\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} z}}$.

Ainsi :

$v{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} z}}=g={\dfrac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (v^{2})}{\mathrm {d} z}}\Rightarrow \int _{v_{0}}^{v}\mathrm {d} (v^{2})=\int _{z_{0}}^{z}2g.\mathrm {d} z\Rightarrow v^{2}-v_{0}^{2}=2.g(z-z_{0})$,

$\Rightarrow v(z)={\sqrt {v_{0}^{2}+2.g(z-z_{0})}}$.

 

Quelle que soit l'approche choisie (Lagrange ou Euler), le résultat est le même.