Changement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire

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Fiche mémoire sur un formulaire de changements de variables en calcul intégral
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Changement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire
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Cette fiche est un résumé de la leçon.

Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral :

.


Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]

Règles de Bioche[modifier | modifier le wikicode]

Considérons l’intégrale :

.

1er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

.

2eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

.

3eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

.

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :

.

On a alors :

.

Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré[modifier | modifier le wikicode]

Premier type[modifier | modifier le wikicode]

Intégrales de fonctions de la forme :

.

On pose :

.

On a alors :

.

Deuxième type[modifier | modifier le wikicode]

Intégrales de fonctions de la forme :

.

On pose :

.

On a alors :

.

Troisième type[modifier | modifier le wikicode]

Intégrales de fonctions de la forme :

.

On pose :

.

On a alors :

.

Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique[modifier | modifier le wikicode]

Ces intégrales sont de la forme :

On pose :

.

En particulier :

Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré[modifier | modifier le wikicode]

Ces intégrales sont de la forme :

.

On pose :

Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré[modifier | modifier le wikicode]

Premier cas[modifier | modifier le wikicode]

L'intégrale est de la forme :

.

On pose alors :

.

Autre choix possible :

.

Deuxième cas[modifier | modifier le wikicode]

L'intégrale est de la forme :

.

On pose alors :

.

Autre choix possible :

.

Troisième cas[modifier | modifier le wikicode]

L'intégrale est de la forme :

.

On pose alors :

.

Autre choix possible :

.