Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Moment magnétique

Dipôle magnétique

Définition

Un dipôle magnétique est une boucle de courant dont on considère le champ à grande distance.

Moment magnétique

Définition

Le moment magnétique ${\vec {\mathfrak {m}}}$ d'une boucle parcourue par un courant I, de surface a orientée en accord avec I par un vecteur normal ${\vec {n}}$, est défini par ${\vec {\mathfrak {m}}}=aI{\vec {n}}$

Champ créé à grande distance par un dipôle magnétique

Début d’un principe

Dispositif

On dispose d'une spire circulaire de centre O, de rayon R, d'axe (Ox), parcourue par un courant i.

Fin du principe

On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :

${\overrightarrow {OM}}=r{\vec {u}}_{r}$

$r\gg R~$

Soit P un point courant de la spire, repéré par l'angle $\varphi$ entre ${\vec {u}}_{y}$ et ${\overrightarrow {OP}}$. Le champ magnétique créé en M par un élément $\mathrm {d} {\vec {l}}$ de spire placé en P vaut :

$\mathrm {d} {\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}i}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\overrightarrow {PM}}}{PM^{3}}}$.

avec :

$\mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} {\overrightarrow {OP}}=\mathrm {d} \varphi ~{\begin{array}{|l}0\\-R\sin(\varphi )\\R\cos(\varphi )\\\end{array}}$

${\overrightarrow {PM}}={\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OP}}=~{\begin{array}{|l}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )-R\cos(\varphi )\\-R\sin(\varphi )\\\end{array}}$

$PM^{3}=||{\overrightarrow {PM}}||^{3}=(R^{2}+r^{2}-2rR\sin(\theta )\cos(\varphi ))^{\frac {3}{2}}$ donc ${\frac {1}{PM^{3}}}={\frac {1}{r^{3}}}\left(1-2{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}$

En faisant un développement limité à l’ordre 1 en ${\frac {R}{r}}$, on obtient :

${\frac {1}{PM^{3}}}\approx {\frac {1}{r^{3}}}\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)$

On calcule le produit vectoriel :

$\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\overrightarrow {PM}}=\mathrm {d} \varphi ~{\begin{array}{|l}R^{2}\sin ^{2}(\varphi )+R^{2}\cos ^{2}(\varphi )-rR\cos(\varphi )\sin(\theta )\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )\\\end{array}}$

On reprend l’expression de $\mathrm {d} {\vec {B}}(M)$ :

${\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {B}}(M)&={\frac {\mu _{0}i~\mathrm {d} \varphi }{4\pi r^{3}}}\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)~{\begin{array}{|l}R^{2}\sin ^{2}(\varphi )+R^{2}\cos ^{2}(\varphi )-rR\cos(\varphi )\sin(\theta )\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}i~\mathrm {d} \varphi }{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}(R^{2}-rR\cos(\varphi )\sin(\theta ))\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )+3R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\cos ^{2}(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )+3R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\cos(\varphi )\sin(\varphi )\\\end{array}}\end{aligned}}$

Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour $\varphi$ variant entre 0 et $2\pi$. Sachant que :

$\int _{0}^{2\pi }\cos(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\sin(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =0$

$\int _{0}^{2\pi }\cos(\varphi )\sin(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =0$

$\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\pi$

Il vient ainsi :

${\begin{aligned}{\vec {B}}(M)&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}2\pi R^{2}-3\pi R^{2}\sin ^{2}(\theta )\\3\pi R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{3}}}\pi R^{2}~{\begin{array}{|l}2-3\sin ^{2}(\theta )\\3\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}3\cos ^{2}(\theta )-1\\3\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\\end{aligned}}$

Lignes de champ d'un dipôle magnétique

Début d’un théorème

Champ magnétique dipolaire

Dans un repère polaire, le champ magnétique dipolaire créé par une boucle de courant de moment magnétique ${\mathfrak {m}}$ vaut ${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })$

Fin du théorème

Remarque

On remarquera la ressemblance importante avec le dipôle électrostatique, tant dans la forme des équations que dans les lignes de champ engendrées.

${\begin{array}{|c|c|}{\textrm {Magnetostatique}}&{\textrm {Electrostatique}}\\\hline \displaystyle {{\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}&\displaystyle {{\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}\\\hline \mu _{0}{\mathfrak {m}}&\displaystyle {\frac {p}{\varepsilon _{0}}}\\\end{array}}$

Il faut bien garder en tête que cette expression n'est qu'une approximation valable à grande distance du dipôle uniquement.

Efforts exercés sur un dipôle rigide

On considère un dipôle magnétique disposé dans un champ magnétique extérieur ${\vec {B}}$.

Début d’un théorème

Efforts exercés sur un dipôle dans un champ magnétique extérieur

Le dipôle :

• possède une énergie potentielle magnétique $W_{m}=-{\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {B}}$
• est soumis à une force ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}W_{m}={\vec {\nabla }}({\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {B}})$
• est soumis à un moment ${\vec {\Gamma }}={\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}}$

Fin du théorème