Champ électrostatique, potentiel/Exercices/Champs, potentiels
Cylindre uniformément chargé en volume
[modifier | modifier le wikicode]Cet exercice est très classique. Il faut savoir le refaire sans indication ni doute. |
Soit un cylindre d'axe (Oz) uniformément chargé en volume, de densité volumique de charge , de section circulaire de rayon R. Calculer le champ et le potentiel engendrés par cette distribution en tout point M de l'espace.
- et sont deux plans de symétrie de la distribution, donc
- La distribution est invariante par translation suivant z donc
- La distribution est invariante par rotation autour de z donc
La distribution est infinie à symétrie cylindrique. On va chercher à se ramener à une surface finie en appliquant le théorème de Gauss à une surface à symétrie cylindrique.
- On choisit pour surface de Gauss un cylindre :
- de section circulaire de rayon r
- de hauteur h
- de bases perpendiculaires à (Oz)
- On applique le théorème de Gauss à : .
Comme , le flux de à travers les bases de est nul. Il reste .
- On distingue 2 cas :
- Si : on a donc
- Si : on a donc
Finalement :
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donc
En intégrant, il vient
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et sont deux constantes à adapter en fonction des exigences de l'énoncé, sans oublier d'assurer la continuité de V en r=R.
Plan infini
[modifier | modifier le wikicode]Cet exercice est très classique. Il faut savoir le refaire sans indication ni doute. |
Soit un plan uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge séparant l'espace en deux demi-espaces z>0 et z<0. Calculer le champ et le potentiel engendrés par cette distribution en tout point M de l'espace, en supposant le plan à un potentiel nul.
- La distribution est invariante par toute translation suivant x ou y, donc
- Tout plan parallèle à (xOz) ou à (yOz) est plan de symétrie de la distribution, donc
- (xOy) est plan de symétrie de la distribution donc
Comme la distribution est infinie et invariante par de nombreuses transformations, on se ramène à un système de taille finie en appliquant le théorème de Gauss à un endroit quelconque de la distribution :
- On choisit pour surface de Gauss un cylindre :
- de section S
- de hauteur , compris entre les cotes z et -z
- de bases parallèles à (xOy)
- On applique le théorème de Gauss à : .
Comme , le flux de à travers la surface latérale de est nul. Il reste .
Or donc, après simplification :
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donc
En intégrant avec V(0)=0, il vient :
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Exercice un peu plus difficile
[modifier | modifier le wikicode]- Enoncé : Le même plan que précédemment est percé d'un trou de centre O et de rayon R . On prend l'origine des potentiels en O : V(O) = 0
Une équipotentielle V sur l’axe de symétrie passe à la cote z(V) et à l'infini à la cote Z(V): trouver la relation Z=f(z). En particulier dessiner le graphe approximatif de la « séparatrice ».
Certes une solution exacte existe via les fonctions elliptiques et donc permet le tracé exact du diagramme des equi-.V et des lignes de champ. Néanmoins, l'énoncé n'en demande pas tant : on veut seulement la relation Z= f(z).