Leçons de niveau 12

Calcul avec les nombres complexes/Devoir/Étude d'une fonction rationnelle

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Étude d'une fonction rationnelle
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Devoir no1
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Ce devoir est de niveau 12.

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Calcul avec les nombres complexes/Devoir/Étude d'une fonction rationnelle
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— Ⅰ —

Soit la fonction numérique d'une variable réelle définie par :

et sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

 a)  Démontrer qu'il existe , , constantes réelles, telles que pour tout de l'ensemble de définition de  :

.
b)  Étudier les variations de . Déterminer les asymptotes de et son centre de symétrie. Résoudre les équations et . Tracer la courbe .

 Soit la fonction polynomiale définie par :

.
En utilisant les résultats sur la variation de , vérifier que pour tout réel , l'équation admet quatre solutions réelles distinctes.
— Ⅱ —

Soit l'application de dans définie par :

.

Soient m le point d'affixe , M le point d'affixe , A et A' les points d'affixes respectives et , et avec réels.

 a)  Exprimer et en fonction de et .

b)  Déterminer l'ensemble des points m tels que soit réel.
c)  Déterminer l'ensemble des points m tels que soit imaginaire pur.

 a)  Préciser les distances représentées par et . Déterminer l'ensemble des points m tels que .

b)  Soit réel strictement positif différent de . Démontrer que l'ensemble des points m tels que est un cercle. En déterminer le centre et le rayon.
— Ⅲ —

Soient , , , et .

 a)  Exprimer , , et en fonction de . Étudier les cas particuliers et .

b)  Calculer , et .

 Soit . Développer, réduire et ordonner . Exprimer le résultat en fonction de et .

 Pour , soit et sont réels. En utilisant Ⅱ 1°a), démontrer que les sont tous de même signe.

Que peut-on dire de si est réel ?
Quel résultat du retrouve-t-on ainsi ?