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Devoir : Étude d'une fonction rationnelle
Calcul avec les nombres complexes/Devoir/Étude d'une fonction rationnelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
— Ⅰ —
Soit la fonction numérique d'une variable réelle définie par :
et sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1° a) Démontrer qu'il existe , , constantes réelles, telles que pour tout de l'ensemble de définition de :
- .
- b) Étudier les variations de . Déterminer les asymptotes de et son centre de symétrie. Résoudre les équations et . Tracer la courbe .
2° Soit la fonction polynomiale définie par :
- .
- En utilisant les résultats sur la variation de , vérifier que pour tout réel , l'équation admet quatre solutions réelles distinctes.
— Ⅱ —
Soit l'application de dans définie par :
- .
Soient m le point d'affixe , M le point d'affixe , A et A' les points d'affixes respectives et , et avec réels.
1° a) Exprimer et en fonction de et .
- b) Déterminer l'ensemble des points m tels que soit réel.
- c) Déterminer l'ensemble des points m tels que soit imaginaire pur.
2° a) Préciser les distances représentées par et . Déterminer l'ensemble des points m tels que .
- b) Soit réel strictement positif différent de . Démontrer que l'ensemble des points m tels que est un cercle. En déterminer le centre et le rayon.
— Ⅲ —
Soient , , , et .
1° a) Exprimer , , et en fonction de . Étudier les cas particuliers et .
- b) Calculer , et .
2° Soit . Développer, réduire et ordonner . Exprimer le résultat en fonction de et .
3° Pour , soit où et sont réels. En utilisant Ⅱ 1°a), démontrer que les sont tous de même signe.
- Que peut-on dire de si est réel ?
- Quel résultat du Ⅰ retrouve-t-on ainsi ?
Corrigé
— Ⅰ —
1° a) En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients au numérateur, on trouve l'unique solution : , .
- b) est définie sur .
- Elle est impaire donc est symétrique par rapport à et il suffit d'étudier sur .
- donc .
- , et donc a pour asymptotes les verticales et et l'oblique .
- s'annule en et .
- s'annule en . Graphique Google.
2° .
— Ⅱ —
1° a) et .
- b) (et ).
- c) (et ).
2° a) et donc quand appartient à l'axe des ordonnées (médiatrice de ).
- b)
- donc est le cercle de centre le point d'affixe et de rayon .
— Ⅲ —
1° a) , , et . En particulier si : (et l'on vérifie facilement que si , les quatre sont distincts).
- b) et .
2° .
3° D'après Ⅱ 1°a), ne change pas le signe de la partie imaginaire ( est du même signe que ) donc si , les sont tous réels (puisque leurs parties imaginaires sont de même signe et de somme nulle). On retrouve ainsi Ⅱ2°.
Remarque : .