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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Travail pratique : Théorème de l'associativité du barycentreBarycentre/Travail pratique/Théorème de l'associativité du barycentre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient :
A, B, C trois points
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }
trois réels vérifiant :
α
+
β
≠
0
{\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}
α
+
β
+
γ
≠
0
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma \neq 0}
H le barycentre du système de points pondérés
{
(
A
,
α
)
;
(
B
,
β
)
}
{\displaystyle \{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta )\}}
G le barycentre du système de points pondérés
{
(
A
,
α
)
;
(
B
,
β
)
;
(
C
,
γ
)
}
{\displaystyle \{({\rm {A}},\alpha );({\rm {B}},\beta );({\rm {C}},\gamma )\}}
1. Écrire les définitions vectorielles de ces deux barycentres.
Solution
Par définition de H :
α
H
A
→
+
β
H
B
→
=
0
→
{\displaystyle \alpha {\overrightarrow {\rm {HA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {HB}}}={\vec {0}}}
Par définition de G :
α
G
A
→
+
β
G
B
→
+
γ
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle \alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}
2. En introduisant le point H dans la définition de G, montrer que
(
α
+
β
)
G
H
→
+
γ
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle (\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}
Solution
On utilise la relation de Chasles :
α
(
G
H
→
+
H
A
→
)
+
β
(
G
H
→
+
H
B
→
)
+
γ
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle \alpha ({\overrightarrow {\rm {GH}}}+{\overrightarrow {\rm {HA}}})+\beta ({\overrightarrow {\rm {GH}}}+{\overrightarrow {\rm {HB}}})+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}
donc
(
α
+
β
)
G
H
→
+
α
H
A
→
+
β
H
B
→
+
γ
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle (\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\alpha {\overrightarrow {\rm {HA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {HB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}
Or, par définition de H :
α
H
A
→
+
β
H
B
→
=
0
→
{\displaystyle \alpha {\overrightarrow {\rm {HA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {HB}}}={\vec {0}}}
Finalement
(
α
+
β
)
G
H
→
+
γ
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle (\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}
3. En déduire que G est un barycentre des points H et C avec des coefficients à déterminer.
Solution
De
(
α
+
β
)
G
H
→
+
γ
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle (\alpha +\beta ){\overrightarrow {\rm {GH}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}
, on voit que G apparaît comme barycentre du système de points pondérés
{
(
H
,
α
+
β
)
;
(
C
,
γ
)
}
{\displaystyle \{({\rm {H}},\alpha +\beta );({\rm {C}},\gamma )\}}
Ce chapitre, assez technique, peut faire l’objet d'exercices de niveau 11 ou 12.