Leçons de niveau 15

Application multilinéaire/Exercices/Formes bilinéaires et bases

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Formes bilinéaires et bases
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Exercices no1
Leçon : Application multilinéaire

Exercices de niveau 15.

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Application multilinéaire/Exercices/Formes bilinéaires et bases
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Dire si les applications suivantes sont bilinéaires sur le -espace vectoriel indiqué :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  • .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient et la forme bilinéaire sur de matrice dans la base canonique.

Donner l'expression de , pour tout .

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit la forme bilinéaire sur définie par :

.
  1. Donner la matrice de dans la base canonique de .
  2. Soient , et . Montrer que est une base de .
  3. Donner la matrice de dans cette base.

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit la forme bilinéaire sur définie par :

.
  1. Est-elle dégénérée ?
  2. Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
  3. Soient , et . Montrer que est une base de .
  4. Déterminer la matrice de dans cette base, de deux manières

Soit la forme bilinéaire symétrique sur définie par :

.
  1. Quel est son noyau ?
  2. Déterminer la matrice de dans la base canonique de .

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit la forme bilinéaire sur définie par :

.
  1. Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
  2. Soient . Montrer que est une base de .
  3. Déterminer la matrice de dans cette base, de deux manières.

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Trouver la matrice d'une forme bilinéaire dans la base si la matrice de cette forme dans la base est

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux formes bilinéaires sur telles que . Soient les matrices de respectivement (dans une base fixée de , qui est supposé de dimension finie). Trouver le lien entre .

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Le noyau à gauche d'une forme bilinéaire est le sous-espace vectoriel constitué des vecteurs tels que et le noyau à droite est le sous-espace constitué des tels que .

Trouver le noyau à droite et le noyau à gauche des formes bilinéaires données par les matrices

.

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

Soit et soit la forme bilinéaire dont la matrice dans la base canonique est :

.
  1. Montrer que est symétrique et non dégénérée.
  2. Donner des équations, puis une base de l'orthogonal pour du sous-espace .
  3. Mêmes questions pour .
  4. Calculer .
  5. Démontrer que contient des vecteurs isotropes non nuls.

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit la forme bilinéaire sur dont la matrice dans la base canonique est :

.
  1. est-elle symétrique ?
  2. Donner une base de son noyau.
  3. Appliquer l'algorithme de Gauss à la forme quadratique définie par et comparer les résultats.

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Montrer que la forme bilinéaire est symétrique et non dégénérée.
  2. Soit . Calculer la dimension des deux noyaux de la forme bilinéaire , en fonction du rang de .
  3. Pour , donner la matrice de dans la base canonique de .

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

Soit la forme quadratique sur définie par : . Décomposer en somme de carrés de formes linéaires et d'opposés de tels carrés, en utilisant la méthode de Gauss. En déduire une base dans laquelle l’expression de est de la forme . Quelle est la particularité de cette base ? Est-elle orthogonale ou orthonormale ?

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

Pour chacune des formes quadratiques suivantes, donner sa forme polaire, puis des coordonnées dans lesquelles la forme est diagonale et la base de correspondante :

  1. ,  ;
  2. ,  ;
  3. ,  ;
  4. , .

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . On considère la forme .

  1. est-elle bilinéaire ? symétrique ? antisymétrique ?
  2. Montrer que le triplet est une base de .
  3. Déterminer la matrice dans de la forme quadratique .
  4. Déterminer le noyau, le rang et la signature de . La forme est-elle définie ? positive ? négative ?
  5. Déterminer le -orthogonal du sous-espace .

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Effectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le rang et la signature des formes quadratiques suivantes :

  1.  ;
  2. (discuter suivant les valeurs de ) ;
  3. (discuter suivant les valeurs de ) ;
  4.  ;
  5. (discuter suivant les valeurs de ).

Exercice 1-16[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Pour tous (l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal ou ), on pose :

.
  1. Montrer est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisymétrique ?
  2. Montrer est une forme quadratique. La forme est-elle définie ?