Propositions et opération élémentaire/Conjonctions et disjonctions
Soient p et q deux propositions.
La conjonction des propositions p et q est la proposition notée « p et q » ou qui est vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies, c'est-à-dire p vraie et q vraie.
La disjonction des propositions p et q est la proposition notée « p ou q » ou encore qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions p ou q est vraie.
Il est important de remarquer que le « ou » est inclusif, c'est-à-dire si est vraie alors est vraie.
On peut résumer tout cela avec cette table de vérité :
Valeur de p | Valeur de q | Valeur de | Valeur de |
---|---|---|---|
Vraie | Vraie | Vraie | Vraie |
Vraie | Fausse | Vraie | Fausse |
Fausse | Vraie | Vraie | Fausse |
Fausse | Fausse | Fausse | Fausse |
Maintenant étudions cette table de vérité :
Valeur de p | Valeur de q | Valeur de | Valeur de |
---|---|---|---|
V | V | V | F |
V | F | F | V |
F | V | F | V |
F | F | F | V |
On remarque que est équivalent à .
De même, on obtiendrait est équivalent à .
On peut résumer ces propriétés en disant que la négation d'un « ou » est un « et » et la négation d'un « et » est un « ou ».
Dans des exemples :
() ou ( a au moins une solution.) | Vraie |
(4 est pair) et (Les mammouths ont disparu) | Vraie |
() et () | Faux |
Faux | |
Vraie |
Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)
Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).
Soient et deux propositions.
La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.
La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.