En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Formes bilinéaires et bases Application multilinéaire/Exercices/Formes bilinéaires et bases », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1-1
Dire si les applications suivantes sont bilinéaires sur le -espace vectoriel indiqué :
;
;
;
;
;
.
Solution
Oui.
Non car est -bilinéaire mais pas -bilinéaire, puisqu'elle est non nulle et à valeurs réelles.
Oui, comme composée de l'application bilinéaire et de la forme linéaire « intégrale de 0 à 1 ».
Non car en général.
Oui, comme composée de l'application bilinéaire et de la forme linéaire « trace ».
Oui.
Exercice 1-2
Soient
et la forme bilinéaire sur de matrice dans la base canonique.
Donner l'expression de , pour tout .
Solution
.
Exercice 1-3
Soit la forme bilinéaire sur définie par :
.
Donner la matrice de dans la base canonique de .
Soient , et . Montrer que est une base de .
Donner la matrice de dans cette base.
Solution
.
.
On peut effectuer le produit , ou calculer séparément chacun des 9 termes de la matrice. Par exemple : .
Exercice 1-4
Soit la forme bilinéaire sur définie par :
.
Est-elle dégénérée ?
Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
Soient , et . Montrer que est une base de .
Déterminer la matrice de dans cette base, de deux manières
Solution
est définie positive (car la seule fonction continue de telle que est la fonction nulle) donc non dégénérée.
.
Ces 3 polynômes sont de degrés respectifs 0, 1 et 2 donc forment une base de (ou moins savamment : ils forment un système libre car le déterminant de leur matrice (triangulaire) dans la base canonique est , et ils sont au nombre de 3, la dimension de l'espace).
On peut effectuer le produit , ou calculer séparément chacun des 9 termes de (il suffit en fait de calculer les 6 pour lesquels , car est symétrique donc aussi). .
Soit la forme bilinéaire symétrique sur définie par :
.
Quel est son noyau ?
Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
Soient . Montrer que est une base de .
Déterminer la matrice de dans cette base, de deux manières.
Solution
La base canonique de est , et , donc la matrice de dans la base canonique est .
donc ces 4 vecteurs forment une famille libre, or , donc cette famille libre est une base de .
On peut effectuer le produit , ou calculer séparément chacun des 16 termes de (il suffit en fait de calculer les 10 pour lesquels , car ). .
Exercice 1-6
Trouver la matrice d'une forme bilinéaire dans la base si la matrice de cette forme dans la base est
Solution
La matrice de dans est
donc la matrice de la forme bilinéaire dans la nouvelle base est
.
Autre méthode : exprimer en fonction des coordonnées de et dans puis, comme cas particuliers, les 9 éléments de la matrice cherchée. Par exemple : .
Exercice 1-7
Soient et deux formes bilinéaires sur telles que
. Soient les matrices de
respectivement (dans une base fixée de , qui est supposé de dimension finie). Trouver le lien entre .
Solution
Soit . Le lien entre et se traduit matriciellement par : pour toutes matrices colonnes , donc .
Exercice 1-8
Le noyau à gauche d'une forme bilinéaire est le sous-espace vectoriel constitué des vecteurs tels que et le noyau à droite est le sous-espace constitué des tels que .
Trouver le noyau à droite et le noyau à gauche des formes bilinéaires données par les matrices
.
Solution
On trouve facilement que et sont de rang 2, ce qui, d'après le théorème du rang, permet de prévoir que les quatre noyaux sont des droites vectorielles.
Pour :
noyau à gauche : donc ce noyau est engendré par le vecteur .
noyau à droite : donc ce noyau est engendré par le vecteur .
Pour :
noyau à gauche : donc ce noyau est engendré par le vecteur .
noyau à droite : donc ce noyau est engendré par le vecteur .
Exercice 1-9
Soit et soit la forme bilinéaire dont la matrice dans la base canonique est :
.
Montrer que est symétrique et non dégénérée.
Donner des équations, puis une base de l'orthogonal pour du sous-espace .
Mêmes questions pour .
Calculer .
Démontrer que contient des vecteurs isotropes non nuls.
Solution
est symétrique car l'est. Elle est non dégénérée car car modulo 2, .
. Une base est donc . (Il est normal que l'orthogonal d'un plan soit de codimension 2, puisque est non dégénérée.)
. Une base est donc .
donc .
. Le cône isotrope de est donc la réunion de deux droites, engendrées respectivement par et .
Exercice 1-10
Soit la forme bilinéaire sur dont la matrice dans la base canonique est :
.
est-elle symétrique ?
Donner une base de son noyau.
Appliquer l'algorithme de Gauss à la forme quadratique définie par et comparer les résultats.
Solution
est symétrique puisque l'est.
donc une base du noyau est par exemple .
donc est de rang 2, ce qui était prévisible par le théorème du rang, puisque son noyau est de codimension 2.
Exercice 1-11
Soit .
Montrer que la forme bilinéaire est symétrique et non dégénérée.
Soit . Calculer la dimension des deux noyaux de la forme bilinéaire , en fonction du rang de .
Pour , donner la matrice de dans la base canonique de .
Solution
La forme est symétrique et non dégénérée car .
et donc les deux noyaux de ont pour dimension .
La base canonique de est . La matrice de dans cette base est .
Exercice 1-12
Soit la forme quadratique sur définie par : . Décomposer en somme de carrés de formes linéaires et d'opposés de tels carrés, en utilisant la méthode de Gauss. En déduire une base dans laquelle l’expression de est de la forme . Quelle est la particularité de cette base ? Est-elle orthogonale ou orthonormale ?
Cette base est orthogonale pour (par construction) mais pas pour la structure euclidienne canonique sur . C'est (avec la non-unicité) la principale tare de l'algorithme de réduction de Gauss, par rapport à celui de diagonalisation des matrices autoadjointes (en échange, l'algorithme de Gauss est plus simple).
Exercice 1-13
Pour chacune des formes quadratiques suivantes, donner sa forme polaire, puis des coordonnées dans lesquelles la forme est diagonale et la base de correspondante :
, ;
, ;
, ;
, .
Solution
. , , et la nouvelle base est .
. , , et la nouvelle base est .
. , , , et la nouvelle base est .
. , , , , et les coordonnées dans l'ancienne base de la nouvelle base sont , donc la nouvelle base est .
Déterminer la matrice dans de la forme quadratique .
Déterminer le noyau, le rang et la signature de . La forme est-elle définie ? positive ? négative ?
Déterminer le -orthogonal du sous-espace .
Solution
donc est bilinéaire mais n'est
ni symétrique — par exemple, ;
ni antisymétrique — par exemple, .
est par définition engendré par , et ce triplet est libre car si , c.-à-d. si , alors .
donc la matrice de dans est .
donc a pour signature . Elle n'est donc pas définie, ni même positive ou négative, et son rang est 2. Son noyau est (d'après la question précédente) la droite vectorielle (ce qui est cohérent avec son rang).
Question 5 : donc est de rang 3 si et de rang 2 si et plus précisément :
sa signature est (3, 0) si , (2, 1) si , et (2, 0) si ;
son noyau est réduit à zéro si et c'est la droite engendrée par si .
Exercice 1-16
Soit . Pour tous (l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal ou ), on pose :
.
Montrer est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisymétrique ?
Montrer est une forme quadratique. La forme est-elle définie ?
Solution
est linéaire, est bilinéaire et est une forme linéaire, donc est une forme bilinéaire, donc sa restriction à aussi. n'est ni symétrique, ni antisymétrique, car .
est une forme quadratique par définition (d'après la question 1). Elle n'est pas définie puisque .
Exercice 1-17
Soient un -espace vectoriel, une forme quadratique sur , et l'orthogonal de pour . Donner, en la justifiant par une démonstration, une condition nécessaire et suffisante sur pour que .
Soient un -espace vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur et un supplémentaire de dans . Montrer que est non dégénérée.
Soient un -espace vectoriel de dimension , une forme quadratique de signature sur , tel que et l'orthogonal de pour . Montrer que la signature de est .
Solution
ssi, c.-à-d. ssi , où désigne la forme polaire de . Cette condition équivaut à : ou .
Soit . Si alors donc il existe un vecteur tel que . Puis, il existe et tels que , d'où . Cela prouve que . Autrement dit : , c.-à-d. est non dégénérée.
est non dégénérée donc est un supplémentaire de . Soit la signature de . Par hypothèse, donc .
Exercice 1-18
Énoncer le théorème de Sylvester.
Énumérer les différentes classes de formes quadratiques non nulles de .
Pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel réel de dimension finie :
il existe une base de orthogonale pour ;
les deux entiers « nombre d'indices tels que » et « nombre d'indices tels que » sont indépendants du choix d'une telle base.
Il y a classes avec , soit classes de formes quadratiques non nulles sur . Elles sont caractérisées par leurs signatures, qui sont (par ordre lexicographique) : .
Exercice 1-19
Soient et sa base canonique. On considère la forme quadratique définie sur par :
.
Déterminer la matrice de dans la base .
La forme est-elle non dégénérée ?
On considère les trois vecteurs et le sous-espace .
Déterminer la dimension de .
Déterminer l'orthogonal de pour . Quelle est sa dimension ?
Retrouver la réponse à la question 1.2 en donnant un nouvel argument.
Déterminer la signature de .
Retrouver la réponse à la question 1.2 en donnant encore un nouvel argument.
Déterminer le noyau de .
Donner une base de orthogonale pour .
Solution
.
Non car .
est de dimension .
Soit . On a et , donc et .
est dégénérée car .
donc la signature de est .
Le rang de est donc , ce qui redémontre que est dégénérée.
donc est la droite de vecteur directeur .
donc une base -orthogonale est .
Exercice 1-20
Soit l'espace vectoriel des polynômes réels de degré . On définit la forme quadratique sur par : :si , .
Donner la matrice de dans la base de .
Donner une description simple du cône isotrope de .
Déterminer le rang et la signature de .
Trouver une base orthogonale de .
Soit et soit le sous-espace vectoriel de formé des polynômes tels que .
Montrer que est un hyperplan.
Quelle est la dimension de ?
Montrer que est une base de .
Déterminer .
Solution
.
Le cône isotrope est la réunion de la droite des polynômes constants et des droites pour .
donc la signature de est et son rang est (donc est non dégénérée).
.
est défini par une seule équation linéaire homogène donc c'est un hyperplan, c.-à-d. ici un plan : .
Par conséquent (comme est non dégénérée) .
est une base de (donc est libre) et un polynôme s'annule en si et seulement si (donc est génératrice de ).
Un vecteur directeur de est (dans la base ) : , ou encore (en multipliant par ) : .
Exercice 1-21
Soit un -espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme quadratique non dégénérée. On dit qu'un plan de est -hyperbolique s'il existe une base de telle que et où désigne la forme polaire de .
Soit un vecteur non nul isotrope de , montrer qu'il existe dans un plan -hyperbolique contenant .
Solution
Puisque est non dégénérée, il existe tel que (ce qui garantit que est libre). Montrons que le plan est -hyperbolique. Posons . Alors, et , donc en choisissant puis , on obtient bien puis .