Propositions et opération élémentaire/Définition

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Proposition

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une (et une seule) des deux valeurs VRAI ou FAUX (parfois notées respectivement 1 ou 0)

Ceci donne par exemple:

$1+1=2$	Vrai
Isaac Newton était russe	Faux (puisqu'Isaac Newton était de nationalité anglaise)
$x^{2}=-1,x\in \mathbb {R}$ possède au moins une solution	Faux
$x^{2}=-1,x\in \mathbb {C}$ possède au moins une solution	Vraie

On remarque qu’il est important dans des équations mathématiques faisant appel à des variables de préciser l'intervalle où est définie cette variable.

De plus, certains propositions ne sont ni vraies ni fausses. L'exemple célèbre est la phrase « En disant ceci, je mens ». En effet, si on suppose la phrase vraie, alors la proposition est fausse puisqu'alors la personne énonçant cette phrase ne ment pas ; et de même, si on la suppose fausse, alors la proposition est vraie puisque la personne énonçant cette phrase ment.

On comprend alors la nécessité d'axiome et de preuve. C'est-à-dire qu’il faut connaître avec quelles règles on peut décider si une proposition est vraie ou fausse (dans l'exemple $1+1=2$, ce sont des règles arithmétiques apprises qui imposent le résultat), et il faut un raisonnement logique pour parvenir à décider si une proposition est vraie ou fausse : la preuve. Dans l'exemple de « Isaac Newton était russe », ce sont des faits simples — une preuve de sa naissance en Angleterre de parents anglais — qui par un raisonnement simple mais logique permettent de parvenir à la conclusion que la proposition est fausse.