Limites d'une fonction/Fiche/Limites de référence

Fiche mémoire sur les limites de référence

Dans toute la fiche, $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Fonctions polynomiales

	Si a>0 : $\color {Red}{\lim _{x\to +\infty }ax+b=+\infty }$		$\color {Red}{\lim _{x\to -\infty }ax+b=-\infty }$
	Si a<0 : $\color {Blue}{\lim _{x\to +\infty }ax+b=-\infty }$		$\color {Blue}{\lim _{x\to -\infty }ax+b=+\infty }$

	Si n est pair		Si n est impair
	$\lim _{x\to -\infty }x^{n}=+\infty$		$\lim _{x\to -\infty }x^{n}=-\infty$
	$\lim _{x\to +\infty }x^{n}=+\infty$		$\lim _{x\to +\infty }x^{n}=+\infty$

La limite en +∞ ou en -∞ d'une fonction polynomiale est la limite de son terme de plus haut degré.

Fonction inverse

	$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$		$\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0$
	$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$		$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}=(-1)^{n}\infty$

Fonction racine carrée

	$\lim _{x\to 0}{\sqrt {x}}=0$
	$\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {x}}=+\infty$

Fonction logarithme et exponentielle

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty$		$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$
$\lim _{x\to +\infty }\ln(x)=+\infty$		$\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}x^{n}\ln(x)=0$		$\lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x^{n}}}=0$		$\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{n}}}=+\infty$

Taux de variation

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {ax}}{bx}}={\frac {a}{b}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\cos {x-1}}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$

Opérations sur les limites

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l{\text{ ou }}+\infty &l{\text{ ou }}-\infty &+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty &-\infty &-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f+g)}&l+l'&+\infty &-\infty &\color {Red}{\textrm {FI}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l\not =0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'&+\infty {\text{ ou }}-\infty &+\infty {\text{ ou }}-\infty &+{\text{ ou }}-\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}(f\times g)}&l\times l'&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Red}{\textrm {FI}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l&l&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &l\not =0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}g}&l'\not =0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &l'\not =0&0&+\infty {\text{ ou }}-\infty &0\\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\frac {f}{g}}}&\displaystyle {\frac {l}{l'}}&0&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }&\color {Red}{\textrm {FI}}&\color {Red}{\textrm {FI}}&\color {Blue}{+\infty {\text{ ou }}-\infty }\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{c|c|c|}\hline \displaystyle {\lim _{a}f}&l>0&+\infty \\\hline \displaystyle {\lim _{a}{\sqrt {f}}}&{\sqrt {l}}&+\infty \\\hline \end{array}}$

Pour déterminer le signe des limites en bleu, on se réfèrera à la règle des signes.