Initiation à l'arithmétique/Divisibilité

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Qu’est ce que l'arithmétique ?

Ce nom vient du grec arithmos qui signifie « nombre ». L'arithmétique est la science des propriétés des nombres entiers.

Diviseurs et multiples

Définition

Un entier a est divisible par un autre entier b s'il existe un entier q tel que :

a = b×q.

On note alors

b | a,

et l'on dit que

• b divise a, ou que
• b est un diviseur de a, et
• a est un multiple de b.

Début de l'exemple

Exemple 1

$21=3\times 7=7\times 3$

3 et 7 sont des diviseurs de 21.

21 est divisible par 7 et par 3.

21 est un multiple de 3 et de 7. C'est donc un multiple commun de 3 et 7.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 2

$28=7\times 4$

$35=7\times 5$

7 est un diviseur de 28 et de 35. C'est donc un diviseur commun de 28 et 35.

Fin de l'exemple

Remarques

• Tout entier a est divisible par lui-même et par 1

  car a = a×1 = 1×a.

• Si b divise a et c divise b, alors c divise a

  car si a = b×x et b = c×y alors a = c×(x×y).

• 0 est divisible par tout entier a

  car 0 = a×0.

• Le seul multiple de 0 est 0

  car 0×x = 0.

Critères de divisibilité

Un nombre est divisible :

• par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
• par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
• par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
• par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
• par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.