Changement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire

Fiche mémoire sur un formulaire de changements de variables en calcul intégral

Cette fiche est un résumé de la leçon.

Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right]\,\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques

Règles de Bioche

Considérons l’intégrale :

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x$.

1^er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

$u=\cos x$.

2^eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

$u=\sin x$.

3^eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

$u=\tan x$.

Cas général

Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :

$u=\tan {\frac {x}{2}}$.

On a alors :

$\cos x={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \sin x={\frac {2u}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \tan x={\frac {2u}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} u}{1+u^{2}}}$.

Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré

Premier type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0$.

On pose :

$x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )$.

On a alors :

$x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta$.

Deuxième type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b$.

On pose :

$x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}$.

On a alors :

$x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta$.

Troisième type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)dx\qquad a>b$.

On pose :

$x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b-a}{2}}$.

On a alors :

$a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta$.

Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique

Ces intégrales sont de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x$

On pose :

$u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\Leftrightarrow x={\frac {b-du^{n}}{cu^{n}-a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {c(b-d)u^{2n-1}+(ad-bc)u^{n-1}}{\left(cu^{n}-a\right)^{2}}}\,\mathrm {d} u$.

En particulier :

Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré

Ces intégrales sont de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {ax+b}}\right)\,\mathrm {d} x$.

On pose :

$u={\sqrt {ax+b}}\Leftrightarrow x={\frac {u^{2}-b}{a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {2u}{a}}\,\mathrm {d} u$

Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré

Premier cas

L'intégrale est de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x$.

On pose alors :

$x=\tan u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}$.

Autre choix possible :

$x=\sinh u\qquad \mathrm {d} x=\cosh u\,\mathrm {d} u$.

Deuxième cas

L'intégrale est de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x$.

On pose alors :

$x=\sin u\qquad \mathrm {d} x=\cos u\,\mathrm {d} u$.

Autre choix possible :

$x=\tanh u\qquad \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{\cosh ^{2}u}}$.

Troisième cas

L'intégrale est de la forme :

$\int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,\mathrm {d} x$.

On pose alors :

$x={\frac {1}{\cos u}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {\sin u\,\mathrm {d} u}{\cos ^{2}u}}$.

Autre choix possible :

$x=\cosh u\qquad \mathrm {d} x=\sinh u\,\mathrm {d} u$.