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Cette fiche liste l’ensemble des formules présentes dans le cours. Elle résume également les principaux cas d’applications des 6 types de décomptes que nous avons envisagés.
Formules relatives aux factorielles
Arrangements
Début d’un théorème
Formule des arrangements sans répétition
Pour tous entiers n, k, le nombre d'arrangements sans répétition de k éléments d'un ensemble à n éléments, noté , est :
si et 0 sinon.
Ce cas correspond à :
des tirages sans remise dont l’ordre est important de k objets parmi n objets ;
des répartitions de k objets discernables dans n boîtes discernables, pouvant chacune contenir au maximum un objet ;
des injections d'un ensemble de cardinal k vers un ensemble de cardinal n.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Nombre d'arrangements avec répétition
Pour tous n, k ∈ ℕ, le nombre d'arrangements avec répétition de k éléments d'un ensemble à n éléments est égal à .
Ce cas correspond à :
des tirages, avec remise et dont l’ordre est important, de k objets parmi n objets ;
des répartitions de k objets discernables dans n boîtes discernables ;
des applications d'un ensemble de cardinal k vers un ensemble de cardinal n.
Fin du théorème
Permutations
Début d’un théorème
Nombre de permutations sans répétition
Pour tout n ∈ ℕ, le nombre de permutations sans répétition de n objets discernables est égal à
.
Ce cas correspond à :
des tirages sans remise de n objets parmi n ;
des classements de n objets ;
des bijections entre deux ensembles E et F de cardinal n.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Formule des permutations avec répétition
Le nombre n-uplets de k objets discernables avec chaque répété fois () est le coefficient multinomial
.
Fin du théorème
Combinaisons
Début d’un théorème
Formule des combinaisons sans répétition
Pour tous entiers n et k, le nombre de combinaisons (sans répétition) de k éléments pris dans un ensemble à n éléments est :
Fin du théorème
C'est le nombre de parties de cardinal k d'un ensemble de cardinal n.
Début d’un théorème
Formule des combinaisons avec répétition
Pour tous entiers n > 0 et k, le nombre de -combinaisons avec répétition dans un ensemble à n éléments est égal à
.
Fin du théorème
C'est le nombre de -uplets d'entiers naturels de somme .