Dualité/Orthogonalité au sens de la dualité

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Orthogonal d'une partie

Définition

On dit que $x\in E$ et $f\in E^{*}$ sont orthogonaux si $<x,\,f>=0$.

Définition

Pour $A$ une partie de $E$, on pose $A^{\perp }=\{f\in E^{*},\forall a\in A,<a,\,f>=0\}$.

Propriétés générales

Dans cette partie, on appelle $A$ et $B$ des parties de $E$ et $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de $E$.

Propritétés

• $A^{\perp }$ est un sous-espace vectoriel de $E^{*}$
• Si $A\subset B$, alors $B^{\perp }\subset A^{\perp }$
• $A^{\perp }=(Vect(A))^{\perp }$
• $A^{\perp }+B^{\perp }\subset (A\cap B)^{\perp }$
• $(F+G)^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$
• $A\subset {A^{\perp }}^{\perp }$

Démonstration

{{{1}}}

 

Dimension de l'orthogonal

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout $F$ sous-espace vectoriel de $E$ ($E$ de dimension finie), on a :

$\mathrm {dim} F^{\perp }=\mathrm {Codim} F=\mathrm {dim} E-\mathrm {dim} F$.

Fin du théorème

Démonstration

{{{1}}}

 

Corollaire

Pour $F$ et $E$ deux sous-espaces vectoriels de $E$, il vient :

$(F\cap G)^{\perp }=F^{\perp }+G^{\perp }$.

Démonstration

On a déjà $F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G)^{\perp }$. Par formule de Grassman, il vient :

${\begin{aligned}\mathrm {dim} (F^{\perp }+G^{\perp })&=\mathrm {dim} F^{\perp }+\mathrm {dim} G^{\perp }-\mathrm {dim} (F^{\perp }\cap G^{\perp })\\&=\mathrm {dim} F^{\perp }+\mathrm {dim} G^{\perp }-\mathrm {dim} (F+G)^{\perp }\\&=\mathrm {Codim} F+\mathrm {Codim} G-\mathrm {Codim} (F+G)\\&=\mathrm {Codim} (F\cap G)\\&=\mathrm {dim} (F\cap G)^{\perp }\end{aligned}}$

 

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout $F'$ sous-espace vectoriel de $E^{*}$, on a :

$\mathrm {dim} {F'}^{\perp }=\mathrm {Codim} F'$.

Fin du théorème

Corollaire

Pour $F'$ et $E'$ deux sous-espaces vectoriels de $E^{*}$, il vient :

$(F'\cap G')^{\perp }=F'^{\perp }+G'^{\perp }$.